投篮比赛概率与期望（大题）

第(1)问

已知 $p=0.4$，$q=0.5$，甲参加第一阶段。成绩不少于 $5$ 分有两种情况：

情况一：甲第一阶段投中（概率 $0.4$），乙进入第二阶段投 $3$ 次，至少投中 $1$ 次。

乙至少投中 $1$ 次的概率 $=1-(1-0.5)^3=1-0.125=0.875$。

此情况概率 $=0.4\times 0.875=0.35$。

情况二：甲第一阶段未中（概率 $0.6$），乙不投，成绩为 $0$ 分，不满足。

因此成绩不少于 $5$ 分的概率为 $0.35$。

第(2)问

(i) 成绩 $15$ 分意味着第一阶段投中且第二阶段 $3$ 次全中。

若甲参加第一阶段：$P_{\text{甲}}=p\cdot q^3$。

若乙参加第一阶段：$P_{\text{乙}}=q\cdot p^3$。

比较 $P_{\text{甲}}$ 与 $P_{\text{乙}}$：$\dfrac{P_{\text{甲}}}{P_{\text{乙}}}=\dfrac{pq^3}{qp^3}=\dfrac{q^2}{p^2}$。

因 $0<p<q$，故 $q^2>p^2$，即 $P_{\text{甲}}>P_{\text{乙}}$。

为使成绩 $15$ 分概率最大，应由甲参加第一阶段。

(ii) 设甲参加第一阶段，总得分 $X$ 的期望：

$E(X)=p\cdot 5\cdot E[\text{乙投中次数}]$

乙投 $3$ 次，每次命中概率 $q$，故 $E[\text{乙投中次数}]=3q$。

$E_{\text{甲}}(X)=p\cdot 5\cdot 3q=15pq$。

若乙参加第一阶段：$E_{\text{乙}}(X)=q\cdot 5\cdot 3p=15pq$。

两者相等！因此从期望角度看，由谁参加都可以，期望相同。

答案

(1) 成绩不少于 $5$ 分的概率为 $\boxed{0.35}$。

(2)(i) 应由甲参加第一阶段使 $15$ 分概率最大。

(2)(ii) 两种安排的期望相同，均为 $\boxed{15pq}$，由谁参加均可。