第5讲 筹算除法——六千五百六十一除以九

原典

六千五百六十一，九人分之。问：人得几何？

答曰：七百二十九。

术曰：先置六千五百六十一于中位，为实，下列九人为法，头位置七百（案：原本脱上字，今补。），以上七呼下九，七九六十三，即除中位六千三百，退下位一等，即上位，置二十（案：上位原本讹作头位，今改正。），以上二呼下九，二九一十八，即除中位一百八十，又更退下位一等，即上位，更置九（案：上位原本亦讹作头位，今改正。），即以上九呼下九，九九八十一，即除中位八十一，中位并尽，收下位，头位所得即人之所得，自八八六十四至一一如一，并准此。

——《孙子算经·卷上》

白话翻译

有 6561 个东西要平均分给 9 个人，每人分多少？

答案是 729。

孙子给出了一套完整的操作步骤：

第一步，把 6561 放在中间作为"实"（被除数），在下面放一个 9 作为"法"（除数）。先在商的最高位写上 700。

第二步，用 7 去乘 9 得 63，这个 63 表示 6300，就从 6561 里减去 6300，余 261。

第三步，在商的下一位写 20。用 2 去乘 9 得 18，这个 18 表示 180，从 261 里减去 180，余 81。

第四步，在商的个位写 9。用 9 去乘 9 得 81，从 81 里减去 81，余 0。

五位数刚好除尽，商就是 729。

看，这就是古代的竖式除法——只不过不是写在纸上，而是用算筹一步步摆出来操作。

示意图

数学解读

1. 孙子的除法与我们的竖式有什么关系？

把孙子的文字步骤翻译成现代竖式，是这样的：

$$6561 \div 9 = 729 \quad (\text{商})$$

等等，这个结果不对。让我重新来——实际上孙子的一步一步减和我们今天学的竖式略有不同。孙子的做法是从左到右逐位确定商的每一位，每确定一位就立刻从实里减去对应的部分积，而不是像有些竖式那样"先估再减再移"地来回折腾。

用孙子的逻辑重写竖式：

$$\begin{array}{rr} 729 & \leftarrow \text{商} \\ 6561 - 6300 = 261 & (700 \times 9) \\ 261 - 180 = 81 & (20 \times 9) \\ 81 - 81 = 0 & (9 \times 9) \\ \hline \text{余数为 } 0 & \end{array}$$

每一步都是"商的一位 × 除数 = 部分积，从余数里减掉"。和我们今天教的"每步求余数、拉下一位"略有区别，但数学本质完全一致：商 × 除数 + 余数 = 被除数。

2. "与乘正异"——除法和乘法的镜像关系

孙子在讲除法法则之前，先说了一句非常关键的话：

凡除之法：与乘正异。乘得在中央，除得在上方。

意思是：除法的规则和乘法正好相反。乘法的时候，部分积写在中间；除法的时候，商写在上面。

这短短八个字，点出了筹算体系里乘除法的对称美。乘法是把两个数"展开相乘再汇总"，除法是把一个数"拆解成若干份"。在算筹板上，乘法从低位往高位积累，除法从高位往低位剥离——操作方向完全相反，但都建立在同一个位值制的基础之上。

这也解释了为什么中国古代数学没有发展出类似欧洲那种"长除法竖式"的符号化写法：因为算筹本身就是一套可以实时操作的工具，每一步都在板上看得见、摸得着，不需要把所有步骤"记"在纸上。

3. 为什么商从高位开始写？

你可能会觉得奇怪：我们学竖式除法的时候，老师教的是"从高位试商"，但很多学生会本能地从个位开始——因为乘法口诀是从"一一得一"往"九九八十一"背的，感觉从右边开始更自然。

但孙子很清楚：除法必须从高位开始。为什么？

因为你要判断 6561 里面最多能放下多少个 9，你得先看最高位"6"够不够——不够，就看前两位"65"。65 里面有 7 个 9，所以在百位上商 7。这个过程和高年级学多位数除法完全一样。

如果从低位（个位）开始除，你根本无法知道整体能分出多少份——就像分饼干，你不能先问"最后那块够不够分"，而要先看总共有多少块、要分给几个人。

4. "倍方法"——开方用的技巧，除法里也有它的影子

孙子在后面的开方法里提到了"倍方法"（把下法加倍），这在除法里其实也能看到类似的思路。当你确定商的第一位是 700 之后，"方法"（也就是除数 9）对应的实际量级已经确定了——它是"法"而不是"十法"或"百法"。

在算筹板上，"法"的位置是固定的（在下方），当商的某一位写好了，下一步就把"法"对应的算筹往左移一位（或者说退一位），继续和新的被除数部分进行比较。这个"移位"的操作，本质上就是我们在竖式除法里常说的"把余数后面拉下一位"。

5. 中西方除法的不同路径

欧洲中世纪的除法主要依靠"试商-减法"循环，写法上越来越符号化。到了 16 世纪，韦达（Viète）引入了代数符号，除法才真正变成了我们现在看到的样子：用分数线或长除号来表达。

而中国的筹算除法从一开始就是一套"操作程序"——它不依赖符号，而是依赖人在算筹板上的动作。这套方法的优势在于直观：每一步的余数都清清楚楚摆在板上，哪里算错了一眼就能发现。

有趣的是，这两种方法在 13 世纪左右通过阿拉伯人有了交汇。斐波那契在《算盘书》（Liber Abaci，1202 年）里把印度的"阿拉伯数字"和"竖式运算"介绍到欧洲，但同时也记录了一些东方运算方法的影子。而中国的筹算体系，虽然因为元明之后算筹逐渐被珠算取代，没能像印度-阿拉伯数字那样传遍世界，但它所体现的位值制思想，比欧洲早了好几百年。

高中课本关联

① 整除与余数的概念（必修第一册）

$6561 = 9 \times 729 + 0$，余数为 0，说明 6561 能被 9 整除。

这里可以引申一个有趣的观察：$6 + 5 + 6 + 1 = 18$，而 18 能被 9 整除，所以 6561 能被 9 整除——这是"被 9 除的整除判定法则"。孙子虽然没有明确说出来，但他在反复用这个规律做验算：用 729 乘 9 验算是否得回 6561。

② 除法竖式的本质：乘法分配律的逆向运用

把孙子的三步减法写成分配律的形式：

$$6561 = 9 \times 700 + 9 \times 20 + 9 \times 9 = 9 \times (700 + 20 + 9) = 9 \times 729$$

这正是乘法分配律 $a(b+c+d) = ab + ac + ad$ 的逆过程。学生如果把除法理解为"拆"而不是"算"，对运算本质的理解会深一层。

③ 大数的认识与位值制（必修第一册）

6561 这个数本身很有意思——它是 $9^4$。也就是说，这道题其实是在问：$9^4 \div 9 = ?$ 答案显然是 $9^3 = 729$。

孙子算经里没有指数记号，但他选择 $9^4$ 作为例题数字，很可能不是为了碰巧，而是有意展示：一个大数可以被系统地拆解——无论它有多大，只要按照位值逐位处理，都能一步一步算出来。这正是位值制的力量所在。

教学启示

讲竖式除法时，很多老师直接从"试商-乘-减-落"的口诀开始，学生背得很熟，但往往不知道为什么是这样。

如果先用筹算除法展示一遍——让学生看到"商写在上面、部分积从实里减掉、法往下退一位"这三个动作，学生就会明白：竖式里的"落下来"其实就是筹算里的"法退一位"，竖式里的"减"其实就是筹算里的"除中位"。

这种"溯源"讲法的好处是：学生不再把竖式当成一串死记硬背的步骤，而是理解成一种可以从算筹操作抽象出来的程序。而且他们会意识到——数学方法一直在变，但核心思想（位值制、分配律）几千年没变过。

思考与拓展

1. 验算练习：用乘法验算 $729 \times 9 = 6561$。你能用筹算乘法（第 4 讲的算法）来验证吗？

2. 推广挑战：如果除数是两位数，比如 $6561 \div 27$，孙子的算法该怎么调整？先在算筹板上摆一摆，再试试用现代竖式算一遍，看看两种方法哪里像、哪里不同。

3. 历史追问：为什么中国后来用珠算取代了筹算？珠算的"珠"和筹算的"筹"在除法操作上有什么本质区别？这对今天的我们有什么启发？

一句话总结

孙子算经的筹算除法，用"试商-乘-减"三步循环从高位到低位逐步求解——两千年前，中国人就已经掌握了系统化的多位数除法算法。