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三角函数 · 第 4 讲 · 2026-09-03 · 约 9 分钟

第4讲 诱导公式——把角搬进第一象限

诱导公式不是 6 组需要死记的公式，而是单位圆对称性的自然结果。理解了对称，公式自己就跑出来了。

对称性是最好的记忆法

诱导公式有六组，但本质上只有一种思想：利用单位圆的对称性，把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。

单位圆上有四种基本对称：

  1. 关于 x 轴对称 → sin 变号，cos 不变
  2. 关于 y 轴对称 → cos 变号，sin 不变
  3. 关于原点对称 → sin、cos 都变号
  4. 关于 y=x 对称 → sin 和 cos 互换

每种对称对应一组诱导公式。理解了这一点，就不需要背了。

六组公式（从对称性推导）

组一：-α\alpha（关于 x 轴对称）

sin⁡(−α)=−sin⁡α,cos⁡(−α)=cos⁡α,tan⁡(−α)=−tan⁡α\sin(-\alpha) = -\sin \alpha,\quad \cos(-\alpha) = \cos \alpha,\quad \tan(-\alpha) = -\tan \alpha

点 (cos⁡α,sin⁡α)(\cos \alpha, \sin \alpha) 关于 x 轴对称后变成 (cos⁡α,−sin⁡α)(\cos \alpha, -\sin \alpha)。

组二：π−α\pi - \alpha（关于 y 轴对称）

sin⁡(π−α)=sin⁡α,cos⁡(π−α)=−cos⁡α,tan⁡(π−α)=−tan⁡α\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha,\quad \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha,\quad \tan(\pi - \alpha) = -\tan \alpha

点 (cos⁡α,sin⁡α)(\cos \alpha, \sin \alpha) 关于 y 轴对称后变成 (−cos⁡α,sin⁡α)(-\cos \alpha, \sin \alpha)。

组三：π+α\pi + \alpha（关于原点对称）

sin⁡(π+α)=−sin⁡α,cos⁡(π+α)=−cos⁡α,tan⁡(π+α)=tan⁡α\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha,\quad \cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha,\quad \tan(\pi + \alpha) = \tan \alpha

关于原点对称，两个坐标都变号。

组四：2π−α2\pi - \alpha（关于 x 轴对称，等价于 −α-\alpha）

sin⁡(2π−α)=−sin⁡α,cos⁡(2π−α)=cos⁡α\sin(2\pi - \alpha) = -\sin \alpha,\quad \cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha

和组一效果相同。

组五：π2−α\dfrac{\pi}{2} - \alpha（关于 y=xy=x 对称）

sin⁡(π2−α)=cos⁡α,cos⁡(π2−α)=sin⁡α\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos \alpha,\quad \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha

这是余角关系——一个角的正弦等于它的余角的余弦。

组六：π2+α\dfrac{\pi}{2} + \alpha（组合对称）

sin⁡(π2+α)=cos⁡α,cos⁡(π2+α)=−sin⁡α\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha,\quad \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin \alpha

可以看成先关于 y=xy=x 对称（组五），再关于 y 轴对称（组二）。

记忆口诀

"奇变偶不变，符号看象限"：

  • "奇变偶不变"：π2\dfrac{\pi}{2} 的倍数中，奇数倍（π2,3π2,…\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}, \ldots）函数名要变（sin↔cos），偶数倍（π,2π,…\pi, 2\pi, \ldots）函数名不变
  • "符号看象限"：把 α\alpha 当作锐角，看左边那个角在第几象限，确定符号

在高中数学体系里的位置

诱导公式是后续所有三角运算的基础工具。求任意角的三角函数值、化简三角式子、解三角方程，都要用到诱导公式。

高考中，诱导公式通常不作为独立考点，而是作为计算过程中的一步出现。但掌握不好会导致后续所有运算出错。

思考与拓展

  1. 用诱导公式计算：sin⁡11π6\sin\dfrac{11\pi}{6}、cos⁡7π4\cos\dfrac{7\pi}{4}、tan⁡5π3\tan\dfrac{5\pi}{3}。
  2. 你能用诱导公式证明 sin⁡(π+α)=−sin⁡α\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha 吗？（提示：用单位圆上点的对称性）
  3. "奇变偶不变"中的"奇"和"偶"，指的是什么的奇偶？
  4. 诱导公式和上一讲的"终边相同的角函数值相等"有什么关系？

一句话总结

诱导公式的本质是单位圆上的对称——关于轴对称、关于原点对称、关于 y=x 对称。理解了对称，公式不用背。

— Y. · 2026-09-03