概率统计

21. 已知 $(i,j,k)$ 是 $1,2,3$ 的一个排列，若函数 $f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$，对任意 $x\in I$，都有 $f_1(x)\leq f_i(x)$ 且 $f_1(x)+f_2(x)\leq f_i(x)+f_j(x)$，则称 $(i,j,k)$ 是关于 $f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$ 的一个 $I$ 排列，则关于 $f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$ 的 $I$ 排列总数记为 $n_I$。

（1）已知 $I=[3,+\infty)$，$f_1(x)=x$，$f_2(x)=0$，$f_3(x)=x^2+1

设 $U=\left\{(x_1,x_2,x_3)\big|x_i\in\{-2,-1,1,2\},i=1,2,3\right\}$ 为空间中 $64$ 个点构成的集合，点 $P(1,1,1)$，记样本空间 $\Omega=\complement_{U}\{P\}$，从 $\Omega$ 中随机取一个点，定义随机变量 $X$ 如下：对 $\Omega$ 中的每个点 $A(x_1,x_2,x_3)$，令 $X(A)=x_1+x_2+x_3$，则 $X$ 的数学期望为

A. $-\frac{1}{21}$

B. $-\frac{1}{63}$

C. $0$

D. $\frac{1}{7}$

设整数 $N \geq 2$。某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 $N$ 次，当且仅当投中 1 次时或 $N$ 次均未投中时，停止练习。设该同学每次投中的概率为 $p\ (0 < p < 1)$，各次投中与否相互独立。记 $X$ 为停止练习时该同学的投篮次数。

（1）当 $N=4$，$p=\frac{1}{3}$ 时，求 $X$ 的分布列；

（2）设 $k$，$m$ 均为自然数。

(i) 当 $k \leq N-1$ 时，求 $P(X > k)$；

(ii) 当 $k+m \leq N-1$ 时，证明：$P(X > k+m \mid X > k) = P(X > m)$。