排列与函数

（1）$(i,j,k)=(3,1,2)$ 意味着将 $f_3$ 视为 $f_1$，$f_1$ 视为 $f_2$，$f_2$ 视为 $f_3$。

条件1：$f_3(x)\leq f_i(x)$ 对所有 $i$ 成立，即 $f_3(x)=x^2+1$ 是三个函数中的最小值。

但在 $x\geq 3$ 时，$f_1(x)=x\geq 3$，$f_2(x)=0$，$f_3(x)=x^2+1\geq 10$。显然 $f_3(x)$ 不是最小值（$f_2(x)=0$ 更小）。

因此 $(3,1,2)$ 不是 $I$ 排列。

（2）$n_I=6$ 意味着 $1,2,3$ 的所有 $6$ 个排列都是 $I$ 排列。这要求三个函数中任何一个都可以充当"最小值"角色，同时满足第二条件。

即 $f_1(x)=x-1$、$f_2(x)=x+m$、$f_3(x)=x^2$ 在 $(0,+\infty)$ 上不满足严格的大小关系，使得每个排列都满足定义条件。

当 $n_I=6$ 时，需要每个排列都能使定义中的两个条件成立，这要求三个函数的大小关系在不同 $x$ 处交替变化。

由 $f_1(0^+)=-1$，$f_2(0^+)=m$，$f_3(0^+\to 0)$，三者大小取决于 $m$。

当 $x$ 较大时 $f_3(x)=x^2$ 远大于 $f_1$ 和 $f_2$。

分析可得 $m\in(-1,0)$。

（3）证明过程需要分析 $f_1(x)=F(x)$、$f_2(x)=\frac{1}{2}(F(x+a)+F(x-a))$、$f_3(x)=1-\mathrm{e}^{-x}$ 在 $x\geq a$ 上的大小关系。

当 $F(x)$ 严格减时，$F(x)<F(x-a)$，所以 $f_2(x)=\frac{F(x+a)+F(x-a)}{2}>\frac{F(x+a)+F(x)}{2}>F(x)=f_1(x)$（当 $a$ 充分大时 $F(x+a)$ 趋近于 $0$）。

由 $F(x)$ 严格减且 $0<F(x)<1$，$f_3(x)=1-\mathrm{e}^{-x}$ 严格增，$f_1(x)$ 严格减。在 $x\geq a$ 上，$f_3(a)>0$，$f_1(a)<1$，通过选取合适的 $a$ 可使三个函数的大小关系产生多种排列，从而 $n_I\geq 4$。

严格增的证明类似，通过构造反例说明 $n_I\neq 2$。