∫π每天一道数学题

2026年6月12日 · 星期五

随机变量与数学期望

#6

“学然后知不足，教然后知困。——《礼记》”

设 $U=\left\{(x_1,x_2,x_3)\big|x_i\in\{-2,-1,1,2\},i=1,2,3\right\}$ 为空间中 $64$ 个点构成的集合，点 $P(1,1,1)$ ，记样本空间 $\Omega=\complement_{U}\{P\}$ ，从 $\Omega$ 中随机取一个点，定义随机变量 $X$ 如下：对 $\Omega$ 中的每个点 $A(x_1,x_2,x_3)$ ，令 $X(A)=x_1+x_2+x_3$ ，则 $X$ 的数学期望为

A. $-\frac{1}{21}$

B. $-\frac{1}{63}$

C. $0$

D. $\frac{1}{7}$

参考解析

由题意， $\Omega$ 中共有 $63$ 个点。

在全集 $U$ 中，每个 $x_i$ 独立取 $\{-2,-1,1,2\}$ 中的值，各取 $16$ 次，因此 $E_U[x_i] = 0$ ，从而 $E_U[X] = 0$ 。

在 $\Omega = U \setminus \{P\}$ 中，去掉了点 $(1,1,1)$ ，该点对应的 $X(P) = 1+1+1 = 3$ 。

由期望关系： $0 \times 64 = E_\Omega[X] \times 63 + 3$ ，解得 $E_\Omega[X] = -\frac{3}{63} = -\frac{1}{21}$ 。

选 A。

答案是 $-\frac{1}{21}$ 。

这道题的解析对你有帮助吗？

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