第3讲 空间中两条直线——平行、相交、异面

从一个最朴素的问题开始

在平面几何里，两条不重合的直线，位置关系只有两种：平行或者相交。

但在空间里呢？你抬头看看房间——上面那条横着的墙缝（天花板和前面墙的交线），和下面那条竖着的墙角线（后面墙和右面墙的交线），它们是什么关系？

既不平行（方向不一样），也不相交（根本碰不到一起）。

这种「既不平行也不相交」的两条直线，在平面几何里是不存在的，但在空间里却很常见。它们叫做异面直线。

异面直线是立体几何里第一个全新的概念——也是你从二维思维跨越到三维思维的第一道坎。

空间两条直线的位置关系

空间中两条不重合的直线，一共有三种位置关系：

位置关系	是否共面	公共点个数	符号
平行	共面	0 个	$a \parallel b$
相交	共面	1 个	$a \cap b = P$
异面	不共面	0 个	—

注意一个细节：平行和异面都是没有公共点的，但平行是共面的，异面是不共面的。 所以「没有公共点」不等于「平行」——在空间里，没有公共点的两条直线可能平行，也可能异面。

这是和平面几何最大的不同。平面里说「两条直线没有公共点就是平行」，这个结论在空间里不成立。

示意图

平行公理与等角定理

虽然空间里多了异面这种关系，但平面几何里关于平行的一些结论，在空间里仍然成立。

平行公理（公理4）

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

用符号写：若 $a \parallel b$ 且 $b \parallel c$，则 $a \parallel c$。

这条公理也叫平行线的传递性。它在平面里成立，在空间里也成立——这是少数几个可以从平面直接推广到空间的结论之一。

为什么要单独把它列成公理？因为在空间里，你不能默认平面中的结论都成立，必须一条一条检验。平行公理是空间中证明两条直线平行的重要依据。

等角定理

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。

平面里这个结论成立，空间里也成立。

如果去掉「方向相同」的条件，结论就变成了「相等或互补」——方向都相同则相等，一个相同一个相反则互补。

等角定理告诉我们：角在空间中平移之后，大小不变。 这也是我们可以在空间中自由平移向量的理论基础。

异面直线的判定

怎么判断两条直线是异面直线？

最直接的方法当然是用定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

但「不同在任何一个平面内」这个条件不太好直接验证——你总不能检查所有平面对吧。所以我们需要一些更实用的判定方法。

判定定理

过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。

用图来说话：平面 $\alpha$ 内有一条直线 $l$，点 $A$ 在 $\alpha$ 外，点 $B$ 在 $\alpha$ 内但不在 $l$ 上，那么直线 $AB$ 和 $l$ 是异面直线。

为什么？用反证法：假设它们不是异面直线，那它们共面。设这个平面为 $\beta$。因为 $B \in l$ 不成立（B不在l上），等等——让我们重新理一下：

• 直线 $l$ 在 $\alpha$ 内
• 点 $B$ 在 $\alpha$ 内，但不在 $l$ 上
• 点 $A$ 在 $\alpha$ 外

如果 $AB$ 和 $l$ 共面，设这个平面为 $\beta$，那么 $l$ 和点 $A$ 都在 $\beta$ 内。但 $l$ 和 $A$ 确定的平面就是 $\alpha$ 吗？不对，$l$ 在 $\alpha$ 内但 $A$ 不在 $\alpha$ 内，所以 $l$ 和 $A$ 确定另一个平面，而 $B$ 在 $\alpha$ 内也在 $\beta$ 内……

换个更简单的思路：如果 $AB$ 和 $l$ 共面，那么 $A, B, l$ 都在同一个平面内。但 $B$ 和 $l$ 都在 $\alpha$ 内，而且 $B$ 不在 $l$ 上，所以 $B$ 和 $l$ 确定的平面就是 $\alpha$。这意味着 $A$ 也必须在 $\alpha$ 内，和 $A$ 在 $\alpha$ 外矛盾。所以假设不成立，$AB$ 和 $l$ 是异面直线。

这个判定定理很有用——遇到「一条在平面内、一条穿平面而过」的情况，大概率是异面直线。

异面直线所成的角

两条异面直线不在同一个平面里，那它们的「夹角」怎么定义呢？

我们用平移的办法：经过空间任意一点 $O$，分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线所成的锐角（或直角），就叫做两条异面直线所成的角。

$$\theta \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right]$$

几点说明：

1. 点 O 是任意取的——根据等角定理，不管 O 取在哪里，角的大小都是一样的。为了方便，通常取在其中一条直线上，或者取在某个特殊的位置（比如端点、中点）。
2. 取锐角或直角——因为直线是没有方向的，所以两条直线的夹角范围是 $(0, 90°]$，大于 90° 的取它的补角。
3. 如果异面直线所成的角是 90°，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 $a \perp b$。

求异面直线所成角的基本思路：平移 → 相交 → 解三角形。 核心就是把空间问题转化为平面问题。

异面直线的距离

两条异面直线的公垂线段：和两条异面直线都垂直且相交的线段，叫做两条异面直线的公垂线段。

两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离。

可以证明：两条异面直线有且只有一条公垂线段，而且公垂线段是连接两条异面直线上各一点的所有线段中最短的。

在高中阶段，异面直线的距离要求不高，一般只会求一些比较规则的几何体（比如正方体）中的异面直线距离，或者可以转化为线面距离、面面距离的情况。

深入理解

为什么异面直线是三维空间的标志

在二维平面里，两条直线的关系只有两种：平行或相交。到了三维空间，多了一种「异面」。这多出来的一种关系，恰恰是三维空间比二维丰富的体现。

再往下想：在四维空间里，两个平面的关系会比三维空间更多吗？答案是肯定的——三维空间里两个平面要么平行要么相交（交于直线），但在四维空间里，两个平面还可以「既不平行也不相交」（类似于三维空间里的异面直线）。

每多一个维度，就多一种新的位置关系。 这也是高维几何有趣的地方。

平移法：把空间问题降维到平面

求异面直线所成的角，用的是「平移法」——通过平移让两条直线相交，把异面问题转化为相交直线的夹角问题。

这是立体几何中一个非常重要的思想：降维——把三维的问题降到二维来解决。

怎么降维？最常用的办法就是平移（利用平行线共面，把两条异面直线搬到同一个平面里）、作截面（用一个平面去切几何体，在截面里讨论问题）、建坐标系（用坐标把空间问题变成代数问题）。

你以后学的空间向量，本质上也是一种降维——把几何问题变成坐标运算，而坐标运算就是代数问题了。

在高中数学体系里的位置

异面直线是立体几何入门的第一个难点——很多同学在这儿卡住，就是因为还不习惯三维的思维方式。

思想延伸：异面直线的学习，是你建立空间想象能力的第一步。从「两条直线要么平行要么相交」的二维思维，拓展到「还有异面」的三维思维，这个跨越需要一些时间，但一旦跨过去，后面的内容就顺了。

题型定位：异面直线所成的角是高考的高频考点，选择题、填空题和解答题的第一问都可能考。方法主要有两种：几何法（平移法）和向量法。向量法更通用，但几何法有时候更快捷。

易错点：

1. 误以为「没有公共点的两条直线就是平行」——忘了还有异面
2. 求异面直线所成角的时候，忘了取锐角/直角，算出钝角直接写上去
3. 判定异面的时候画个图就直接说「显然异面」——不严谨，最好用判定定理或反证法
4. 异面直线的公垂线和公垂线段搞混——公垂线是直线，公垂线段是线段

思考与拓展

1. 在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，判断下列每对棱是不是异面直线，如果是，求它们所成的角：
   • （1）$AB$ 和 $CC_1$
   • （2）$A_1B$ 和 $DC_1$
   • （3）$AC$ 和 $BD_1$
2. 「分别在两个平面内的两条直线是异面直线」这句话对吗？为什么？
3. 垂直于同一条直线的两条直线，在空间中有几种位置关系？各举一个例子。
4. 你能用反证法证明异面直线的判定定理吗？

一句话总结

空间两条直线有三种关系：平行、相交、异面。异面直线的夹角靠平移来求，平移之后就变成了平面里两条相交直线的夹角——这就是降维的思想。