合分术二：三个分数相加——齐同术的开端

原文

又有三分之二，七分之四，九分之五。问合之得几何？

答曰：得一，六十三分之五十。

合分术曰：母互乘子，并以为实；母相乘为法。实如法而一；不满法者，以法命分。

白话翻译

现在有 $\frac{2}{3}$、$\frac{4}{7}$、$\frac{5}{9}$，问加起来等于多少？

答案：$1\frac{50}{63}$（「得一，六十三分之五十」，即一又六十三分之五十）。

计算方法（合分术）：先把三个分母相乘，$3 \times 7 \times 9 = 189$，这就是法（公共的分母）。再把每个分数的分子乘以「其余两个分母之积」：$\frac{2}{3}$ 化为 $\frac{2 \times 7 \times 9}{189} = \frac{126}{189}$，$\frac{4}{7}$ 化为 $\frac{4 \times 3 \times 9}{189} = \frac{108}{189}$，$\frac{5}{9}$ 化为 $\frac{5 \times 3 \times 7}{189} = \frac{105}{189}$。三者的分子相加，$126 + 108 + 105 = 339$，这就是实。于是

用等数 3 约分（约分术前面第 14、15 讲刚讲过），得 $\frac{113}{63}$，也就是 $1\frac{50}{63}$。分母相同了，分子就能直接相加——这就是「合分」二字的本义。

示意图

数学解读

1. 两个分数到三个分数，多出来什么？

上一讲的合分术口诀是「母互乘子」：两个分数 $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$，交叉相乘再相加。三个分数能不能照搬？把口诀直接翻译过来就是——

每个分子乘的不再是「另一个分母」，而是「其余所有分母之积」。这道题里就是 $\frac{2}{3} \to \frac{2 \times 7 \times 9}{189}$、$\frac{4}{7} \to \frac{4 \times 3 \times 9}{189}$、$\frac{5}{9} \to \frac{5 \times 3 \times 7}{189}$，加起来 $\frac{339}{189}$。

$\frac{339}{189}$ 并不是最简的——3、7、9 这三个分母不互质（$9 = 3^2$），所以乘积 189 不是最小公倍数 63。用等数 3 约分之后，答案才落到《九章》给出的 $\frac{113}{63} = 1\frac{50}{63}$。这正好印证了第 14、15 讲说过的话：母互乘子得到的只是「一个」公分母，不一定最小；约分术负责把结果收拾干净。约分在这里不是可选项，是必需品。

2. 刘徽注：齐同术第一次登场

这一题最有价值的地方，其实不在题本身，而在刘徽的注。上一讲说过，《九章》的术文只讲操作不讲道理，但刘徽注里给了。对合分术，刘徽说：

凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同共一母也；齐者，子与母齐，势不可失本数也。

翻译过来：所有分母相乘，叫「同」——大家共用一个分母；每个分子按同样的比例放大，叫「齐」——分子和分母同步放大，分数值不变。同是公共分母，齐是同步放大的分子，合起来叫「齐同」。

这就是分数通分的理论版本。今天课本上说「分数的基本性质：分子分母同乘一个非零数，分数值不变」，就是齐同术的现代化表述。两个分数比大小、分数加减、甚至以后解方程时去分母，背后全是齐同。

3. 齐同术的真正舞台在后面

如果说合分术只是齐同术的热身，那它的高光时刻在全书后面几章：

• 盈不足术（第七章）：两个假设产生两个盈亏，要「齐其盈、同其术」，最后 $\frac{盈 \times 术_2 + 盈_2 \times 术_1}{盈_1 - 盈_2}$ 这种加权公式，本质上就是齐同——把两个不同的「分率」通成可比较的一个。
• 方程章（第八章）：方程术消元时，「举率以相减」，两个方程系数不同，要先互乘对方对应的系数使两行「相齐」，再相减。这就是今天解方程组时消元之前的「通乘」步骤，刘徽明确说这是齐同。

所以别小看这道三个分数相加的小题。齐同术是《九章算术》全书少数被刘徽点名的「纲纪」——他在注里说「齐同以通之，此其算之纲纪乎」。算法是一条条孤立的规则，纲纪是让规则连成体系的原理。这一讲就是这条纲纪的出发点。

4. 算法视角：一个通用的 n 元求和

把合分术写成今天的程序，大概是：

输入：分数列表 [(a₁,b₁), (a₂,b₂), ...]
法 = 所有分母之积
实 = Σ aᵢ × (除 bᵢ 外所有分母之积)
输出：约分(实/法)

这是个对任意 $n$ 个分数都成立的通用算法。也可以累着做：$\frac{2}{3} + \frac{4}{7} = \frac{14 + 12}{21} = \frac{26}{21}$，再和 $\frac{5}{9}$ 合：$\frac{26 \times 9 + 5 \times 21}{21 \times 9} = \frac{234 + 105}{189} = \frac{339}{189}$，结果一样。一次合三个和两两合并殊途同归，这正是乘法交换律在算法层面的体现——古人的算筹摆法支持这两种顺序。

有意思的是，今天计算机里做浮点加法，$a + b + c$ 和 $(a + b) + c$ 可能因为舍入误差得到不同结果；但分数是精确表示，加法顺序不影响结果。算筹时代的分数运算反而是「无损」的。

高中课本关联

分式通分

高中课本里分式运算的第一课就是通分。最简公分母怎么找？取各分母的所有因式，指数取最高次幂——这正是「最小公倍数」思想从整数推广到式。如果题目是 $\frac{2}{3} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9}$，最简公分母是 $3^2 \times 7 = 63$，而不是 $3 \times 7 \times 9 = 189$。先取 $63$ 再约，比先取 $189$ 再约省一步；但殊途同归，术文选择的是不需要判断公因式的「笨办法」——机械、可操作、不出错。面对不互质的分母，先想清楚再动手，和先动手再收拾，两条路都通。

高考里的分数运算

高考中单纯考分数加减的题几乎绝迹，但分数运算作为底层技能无处不在：概率计算里 $\frac{2}{3} + \frac{4}{7}$ 这种加法，解应用题列式后的数值收尾，数列求和的中间步骤。运算慢一步，后面每一步都慢。合分术提醒我们的是：别在收尾计算上丢分，也别把通分当成需要「灵感」的步骤——它是有程序的。

齐同思想与解方程

解分式方程或方程组时「两边同乘以最简公分母」去分母，逻辑就是齐同：同乘一个非零式子，等式关系不变。到选择性必修二的数列里，$a_{n+1} = p a_n + q$ 型递推求通项，待定系数法凑 $a_{n+1} + \lambda = p(a_n + \lambda)$，本质也是在数列层面做「齐」的变换——把不同构的项化成同构的。数学里大量「化异为同」的操作，都是齐同的后代。

思考与拓展

1. 用合分术算 $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9}$。母互乘子得到的公分母是多少？答案约分后是多少？最简公分母又是多少？
2. 三个分数相加，先合前两个、再和第三个合，与一次通分相加，结果一定相同吗？试说明理由（提示：乘法交换律、结合律）。
3. 刘徽说齐同术是「算之纲纪」，举一个你学过的、看似和分数无关、但本质是「化异为同」的数学操作。
4. 《孙子算经》里有「三人持钱」题要用三个分数的加法，试着编一道三个分数相加、结果带整数部分的应用题。

一句话总结

三个分数相加把「母互乘子」推向了极限，也逼出了它背后的原理——齐同术：分母相乘为同，分子同比放大为齐；这是贯穿整部《九章算术》的通分总纲。