椭圆与垂直证明（高考真题大题）

第(1)问

$M(1,\dfrac{3}{2})$ 在 $C$ 上且 $MF\perp x$ 轴，故 $F$ 的横坐标为 $1$，$c=1$。

$M$ 在椭圆上：$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{9/4}{b^2}=1$。又 $b^2=a^2-c^2=a^2-1$。

$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{9}{4(a^2-1)}=1$

$\dfrac{4(a^2-1)+9a^2}{4a^2(a^2-1)}=1$

$4a^2-4+9a^2=4a^4-4a^2$

$4a^4-17a^2+4=0$

$(4a^2-1)(a^2-4)=0$，$a^2=4$（$a>1$）。$b^2=3$。

椭圆方程：$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$。

答案

(1) $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$。

第(2)问

$F(1,0)$，$P(4,0)$，$N$ 为 $FP$ 中点 $N(\dfrac{5}{2},0)$。

过 $P(4,0)$ 的直线 $l$：$x=my+4$（设 $x$ 关于 $y$ 的参数，避免斜率不存在问题）。

与椭圆联立：$\dfrac{(my+4)^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$

$\dfrac{m^2y^2+8my+16}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$

$3(m^2y^2+8my+16)+4y^2=12$

$(3m^2+4)y^2+24my+36=0$

$(3m^2+4)y^2+24my+36=0$

$\Delta=576m^2-144(3m^2+4)=576m^2-432m^2-576=144m^2-576=144(m^2-4)$

需 $m^2>4$ 即 $|m|>2$。

$y_A+y_B=\dfrac{-24m}{3m^2+4}$，$y_Ay_B=\dfrac{36}{3m^2+4}$。

$N(\dfrac{5}{2},0)$，$NB$ 交 $MF$（$x=1$）于 $Q$。

$NB$ 方向：$B=(x_B,y_B)=(my_B+4,y_B)$，$N=(\dfrac{5}{2},0)$。

直线 $NB$：$\dfrac{y-0}{y_B-0}=\dfrac{x-\frac{5}{2}}{(my_B+4)-\frac{5}{2}}=\dfrac{x-\frac{5}{2}}{my_B+\frac{3}{2}}$

$x=1$ 时：$y_Q=\dfrac{y_B(1-\frac{5}{2})}{my_B+\frac{3}{2}}=\dfrac{-\frac{3}{2}y_B}{my_B+\frac{3}{2}}$

需证 $AQ\perp y$ 轴，即 $A$ 与 $Q$ 的 $y$ 坐标相同，$y_Q=y_A$。

$\dfrac{-\frac{3}{2}y_B}{my_B+\frac{3}{2}}=y_A$

$-\dfrac{3}{2}y_B=y_A(my_B+\dfrac{3}{2})=my_Ay_B+\dfrac{3}{2}y_A$

$-\dfrac{3}{2}(y_A+y_B)=my_Ay_B$

$-\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{-24m}{3m^2+4}=m\cdot\dfrac{36}{3m^2+4}$

$\dfrac{36m}{3m^2+4}=\dfrac{36m}{3m^2+4}$

等式成立！故 $y_Q=y_A$，即 $AQ\perp y$ 轴。

答案

(2) 证明见解析，$AQ\perp y$ 轴得证。