曲线交点参数范围（高考真题填空题）

$y=x^3-3x$ 与 $y=-(x-1)^2+a$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个不同交点。

联立：$x^3-3x=-(x-1)^2+a$，$x^3-3x+x^2-2x+1-a=0$，$g(x)=x^3+x^2-5x+1-a=0$。

$g'(x)=3x^2+2x-5=(3x+5)(x-1)$。$x>0$ 时 $g'(x)=0$ 当 $x=1$。

$0<x<1$ 时 $g'(x)<0$（递减），$x>1$ 时 $g'(x)>0$（递增）。

$g(0)=1-a$，$g(1)=1+1-5+1-a=-2-a$，$g(+\infty)=+\infty$。

$g$ 在 $(0,1)$ 递减，在 $(1,+\infty)$ 递增。$g(1)=-2-a$ 为极小值。

在 $(0,+\infty)$ 有两个不同零点需：

$g(0)>0$ 且 $g(1)<0$，即 $1-a>0$ 且 $-2-a<0$，即 $a<1$ 且 $a>-2$。

还需 $x\to 0^+$ 时 $g>0$（$g(0)=1-a>0$）和 $g\to+\infty$（$x\to+\infty$），结合极小值 $g(1)<0$，恰两个零点。

$a\in(-2,1)$。

边界验证：$a=1$，$g(0)=0$，零点 $x=0$ 不在 $(0,+\infty)$ 开区间，$g(1)=-3<0$，$g\to+\infty$，一个零点在 $(1,\infty)$。不满足两个。

$a=-2$，$g(1)=0$，$g(0)=3>0$，$(0,1)$ 无零点（$g$ 从 $3$ 递减到 $0$），$x=1$ 是零点，$(1,\infty)$ $g$ 从 $0$ 递增无零点。一个零点。不满足。

答案

$a$ 的取值范围为 $(-2,1)$。