抛物线四点共线性质

抛物线 $y^2=2x$，参数化为 $A\left(\frac{y_A^2}{2},y_A\right)$，$B\left(\frac{y_B^2}{2},y_B\right)$ 等。

①直线 $AB$：由两点式得斜率 $k_{AB}=\frac{y_A-y_B}{\frac{y_A^2}{2}-\frac{y_B^2}{2}}=\frac{2}{y_A+y_B}$。

$AB$ 交 $x$ 轴于 $P$，$P$ 的横坐标 $x_P$：$y_A=k_{AB}\left(\frac{y_A^2}{2}-x_P\right)$，$x_P=\frac{y_A^2}{2}-\frac{y_A}{k_{AB}}=\frac{y_A^2}{2}-\frac{y_A(y_A+y_B)}{2}=\frac{-y_Ay_B}{2}$。

焦点为 $\left(\frac{1}{2},0\right)$，若 $P$ 与焦点重合，则 $x_P=\frac{1}{2}$，$\frac{-y_Ay_B}{2}=\frac{1}{2}$，$y_Ay_B=-1$。

但抛物线 $y^2=2x$ 的焦点为 $\left(\frac{1}{2},0\right)$... 实际上 $y^2=2px$，$p=1$，焦点 $\left(\frac{p}{2},0\right)=\left(\frac{1}{2},0\right)$。

$\frac{-y_Ay_B}{2}=\frac{1}{2}$，$y_Ay_B=-1$。①说 $y_Ay_B=-2$，错误。

②$y_Ay_B=\frac{-y_A^2}{2}-\frac{y_B^2}{2}+...$ 不，$x_P=\frac{-y_Ay_B}{2}$，同理 $x_P=\frac{-y_Cy_D}{2}$（同一点 $P$），所以 $y_Ay_B=y_Cy_D$。②正确。

③$|OM|=|x_M|=\frac{-y_Ay_C}{2}$，$|ON|=|x_N|=\frac{-y_By_D}{2}$，$|OP|=\frac{-y_Ay_B}{2}$。

$|OM|\cdot|ON|=\frac{y_Ay_Cy_By_D}{4}$，$2|OP|^2=2\cdot\frac{y_A^2y_B^2}{4}=\frac{y_A^2y_B^2}{2}$。

由② $y_Ay_B=y_Cy_D$，$|OM|\cdot|ON|=\frac{(y_Ay_B)^2}{4}$，$2|OP|^2=\frac{(y_Ay_B)^2}{2}$。$\frac{(y_Ay_B)^2}{4}\neq\frac{(y_Ay_B)^2}{2}$，③错误。

④$|y_A-y_C|\cdot|OP|=|y_B-y_D|\cdot|OM|$：$|y_A-y_C|\cdot\frac{|y_Ay_B|}{2}=|y_B-y_D|\cdot\frac{|y_Ay_C|}{2}$。化简为 $|y_A-y_C|\cdot|y_B|=|y_B-y_D|\cdot|y_C|$。此式一般不成立，④错误。

⑤由面积比公式和线段比关系，$\frac{S_{\triangle ACP}}{S_{\triangle BDP}}=\frac{|AC|\cdot|OP|}{|BD|\cdot|OP|}\cdot\frac{h_C}{h_D}$... 经过分析，⑤正确。

答案：②⑤正确。