双曲线离心率选择

由 $|FA|=|FP|$，$\angle FAP=30°$，$\triangle FAP$ 为等腰三角形，$FA=FP$，$\angle FAP=\angle AFP=30°$，$\angle AFP=30°$，$\angle FPA=120°$。

$F(-c,0)$，$A(a,0)$，$|FA|=a+c$，$|FP|=a+c$。

设 $P(x_0,y_0)$ 在双曲线上，$\overrightarrow{FA}=(a+c,0)$，$\overrightarrow{FP}=(x_0+c,y_0)$。

$|\overrightarrow{FA}|=|\overrightarrow{FP}|$，即 $(x_0+c)^2+y_0^2=(a+c)^2$。

由 $\angle FAP=30°$，$\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{AP}=|AF||AP|\cos 30°$。

$\overrightarrow{AF}=(-(a+c),0)$，$\overrightarrow{AP}=(x_0-a,y_0)$。

$\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{AP}=-(a+c)(x_0-a)$。

$|AF|=a+c$，$|AP|=a+c$（等腰三角形）。

$-(a+c)(x_0-a)=(a+c)^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$，$-(x_0-a)=(a+c)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$。

$x_0=a-\frac{\sqrt{3}}{2}(a+c)$。

又 $P$ 在双曲线上，$\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1$。

由 $(x_0+c)^2+y_0^2=(a+c)^2$ 和 $x_0^2-a^2=\frac{a^2}{b^2}y_0^2$，联立可得 $e=\frac{c}{a}=\frac{4}{3}$。

答案选 D。