正方体旋转与空间卦限

设正方体棱长为 $1$，则 $A(0,0,0)$，$C(1,1,0)$，$C_1(1,1,1)$。

直线 $AC_1$ 的方向向量为 $(1,1,1)$，过原点。

点 $C$ 到直线 $AC_1$ 的距离为 $d$。$AC_1$ 方向向量 $\vec{u}=(1,1,1)$，$|\vec{u}|=\sqrt{3}$。$\vec{AC}=(1,1,0)$，投影长 $=\frac{|\vec{AC}\cdot\vec{u}|}{|\vec{u}|}=\frac{2}{\sqrt{3}}$，$d=\sqrt{2-\frac{4}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$。

$C$ 绕 $AC_1$ 旋转的轨迹是一个圆，圆心为 $C$ 在 $AC_1$ 上的投影 $P$，半径为 $\sqrt{\frac{2}{3}}$。

投影点 $P$ 的坐标：$P=\frac{\vec{AC}\cdot\vec{u}}{|\vec{u}|^2}\vec{u}=\frac{2}{3}(1,1,1)=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$。

轨迹圆的方程为 $|\vec{r}-P|=\sqrt{\frac{2}{3}}$，即 $(x-\frac{2}{3})^2+(y-\frac{2}{3})^2+(z-\frac{2}{3})^2=\frac{2}{3}$，且 $\vec{r}-P$ 垂直于 $(1,1,1)$。

圆上的点满足 $x+y+z=2$ 且 $(x-\frac{2}{3})^2+(y-\frac{2}{3})^2+(z-\frac{2}{3})^2=\frac{2}{3}$。

这是一个位于平面 $x+y+z=2$ 上的圆。需要判断这个圆经过哪些卦限。

由于圆关于直线 $AC_1$ 对称（即关于 $(1,1,1)$ 方向轴对称），而 $AC_1$ 经过第 $1$、$5$、$7$、$3$ 卦限... 实际上 $(1,1,1)$ 方向的直线只经过第 1 卦限和第 7 卦限（延长过原点）。

圆的圆心在 $\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$（第 1 卦限），半径 $\sqrt{\frac{2}{3}}\approx 0.816$。

从第 1 卦限的圆心出发，向各方向移动半径距离，可以跨越到相邻卦限。由于圆心在平面 $x+y+z=2$ 上，该平面截各卦限。

平面 $x+y+z=2$ 经过以下卦限：第 1 卦限（$x,y,z>0$ 且和为 2）、第 4 卦限（$x>0,z<0$）、第 6 卦限（$y>0,z<0$）... 通过分析，该圆经过第 1、2、4、7 四个卦限。

答案是 C。