数列

“莫等闲，白了少年头，空悲切。——岳飞”

一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩。该塔群共有 $108$ 座塔，依山势自上而下排成 $12$ 行，将第 $i$ 行中塔的座数记为 $a_i\ (i=1,2,\dots,12)$ ，其中 $a_1=1$ ， $a_2=a_3=3$ ， $a_4=a_5=5$ ，且 $a_6,a_7,\dots,a_{12}$ 是一个首项为 $7$ ，公差为 $2$ 的等差数列。将 $a_1,a_2,\dots,a_{12}$ 分为 $6$ 组，每组 $2$ 个数，使得每组的 $2$ 个数之和可构成一个项数为 $6$ 且公差为 $d\ (d>0)$ 的等差数列。则 $d=$

A. $2$ $\quad$ B. $4$ $\quad$ C. $6$ $\quad$ D. $8$

参考解析

先求出数列各项已知 $a_1=1$ ， $a_2=a_3=3$ ， $a_4=a_5=5$ ， $a_6,a_7,\dots,a_{12}$ 是首项为 $7$ 、公差为 $2$ 的等差数列。依次可得： $a_6=7,\ a_7=9,\ a_8=11,\ a_9=13,\ a_{10}=15,\ a_{11}=17,\ a_{12}=19$ 。数列为： $1,\ 3,\ 3,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ 13,\ 15,\ 17,\ 19$ 。
计算数列总和 $1+3+3+5+5+7+9+11+13+15+17+19 = 108$
设分组后和构成的等差数列为 $b_1,b_2,\dots,b_6$ ，公差为 $d$ 等差数列求和： $S_6 = 6b_1 + \frac{6\times 5}{2}d = 6b_1 + 15d$ 由题意得： $6b_1 + 15d = 108$ ，化简得 $2b_1 + 5d = 36$ 。
结合正整数条件求解 $b_1,d$ 均为正整数，代入选项验证：当 $d=4$ 时， $2b_1 + 5\times 4 = 36$ ，解得 $b_1=8$ 。对应等差数列为 $8,12,16,20,24,28$ 。
分组验证 $1+7=8,\quad 3+9=12,\quad 3+13=16,\quad 5+15=20,\quad 5+19=24,\quad 11+17=28$ ，符合题意。