第1讲 数列是什么——从"按顺序排的数"到函数视角
数列不只是一串按顺序排列的数，它本质上是一个定义在正整数集上的函数。理解了这一点，后面的等差、等比、递推就都有了根。
← 返回专题列表
Σ
数列
Sequences and Series
从最朴素的「按顺序排列的数」出发，一路走到等差、等比、递推、求和。不背公式，先懂道理，再看每一个公式背后的直觉与思想。
12 题 · 12 讲已更新
讲义
第2讲 数列的四种表示法——从列举到递推
数列有四种表示法：列举法、通项公式、图像、递推公式。每一种各有所长，而递推关系是理解数列"生长过程"的钥匙。
第3讲 等差数列——"每次加同一个数"的朴素规律
等差数列是最朴素也最重要的数列之一。它的本质是线性增长——每一步迈同样高。理解了这一点，通项公式根本不需要死记硬背。
第4讲 等差中项与性质——对称的直觉
等差数列最优美的性质就是对称性——到两端距离相等的两项之和相等。等差中项只是这个对称性的一个特例而已。
第5讲 等差数列求和——倒序相加的智慧
等差数列前n项和公式有两个，但它们的根是同一个——倒序相加法。理解了这个方法，公式根本不用背，推一遍就记住了。
第6讲 等比数列——"每次乘同一个数"的指数规律
等差数列是每次加一个常数，等比数列是每次乘一个常数。一个对应线性函数，一个对应指数函数——理解了这个对应关系，等比就是等差的"乘法版"。
第7讲 等比中项与性质——乘法版的对称
等比数列的性质和等差高度对应：和变成积、差变成商、算术平均变成几何平均。理解了这个对应关系，性质不用记，推一遍就有了。
第8讲 等比数列求和——错位相减的思想
等差求和用倒序相加，等比求和用错位相减——都是利用对称性来抵消中间项。理解了这个思想，求和公式只是一个副产品。
第9讲 递推数列——从一项推出下一项的艺术
递推是数列的灵魂。等差等比只是最简单的递推，真正有意思的数列都藏在递推关系里。累加法、累乘法、构造法——这三样兵器，能搞定高中大部分递推问题。
第10讲 数列求和的常用方法——不只等差等比
等差求和用倒序相加，等比求和用错位相减，但高考考的远不止这些。分组求和、裂项相消、错位相减——这四种方法掌握了，大部分求和题都能搞定。
第11讲 数列的单调性与最值——离散的点，不一样的玩法
数列是离散的函数，所以单调性和最值的判断也和函数不一样——不能求导，得用"作差法"比较相邻两项。但函数的直觉依然能用，只是要注意 n 只能取整数。
第12讲 数列综合——当数列遇上函数与不等式
数列是函数的离散版，又是不等式的天然载体。高考数列压轴题，通常就是数列+函数+不等式的三重交汇。理解了它们之间的关系，压轴题就不再神秘。