第11讲 数列的单调性与最值——离散的点，不一样的玩法

从函数视角回来

第一讲我们就说过：数列是定义在正整数集上的函数，$a_n = f(n)$。

既然是函数，那就有单调性、最值这些性质。

但是——数列是离散的。它的图像不是连续的曲线，而是一个一个孤立的点。这个"离散"的特点，导致数列的单调性和最值，跟函数比起来，既有相似之处，又有不一样的玩法。

这一讲，我们就来看看离散世界里的单调性和最值怎么研究。

示意图

数列的单调性

函数的单调性，我们是用导数或者定义（$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$）来判断的。

数列呢？因为定义域只有正整数，所以有更简单的办法——比较相邻两项的大小就行了。

方法一：作差法（最常用）

计算 $a_{n+1} - a_n$：

• 如果 $a_{n+1} - a_n > 0$，则数列递增
• 如果 $a_{n+1} - a_n < 0$，则数列递减
• 如果 $a_{n+1} - a_n = 0$，则是常数列

这个方法对任何数列都适用，是判断单调性的"万能钥匙"。

为什么只需要比较相邻两项？因为如果每一项都比前一项大，那整个数列当然就是递增的。不需要比隔得远的，只要相邻的满足就行。这是离散性带来的便利。

方法二：作商法（仅限正项数列）

如果数列的每一项都是正数（或都是负数），也可以用比值来判断：

计算 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$：

• 如果 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} > 1$（且各项 > 0），则递增
• 如果 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} < 1$（且各项 > 0），则递减

作商法特别适合等比数列和乘积形式的数列——因为比值刚好就是公比，一眼就能看出来。

但要注意：作商法要求数列各项同号（通常是正项数列）。如果有正有负，比值大于 1 也不一定是递增的（比如负数乘了一个大于 1 的数，反而更小了）。

数列的最值

函数求最值，我们有导数——找导数为 0 的点，判断极大极小。

数列呢？不能求导（因为不连续），但有自己的方法。

方法一：单调性法

如果数列先增后减，那最大值就是从递增变递减的那个转折点。

如果数列先减后增，那最小值就是从递减变递增的那个转折点。

怎么找转折点？找最后一个满足 $a_{n+1} \ge a_n$ 的 $n$（最大值），或者最后一个满足 $a_{n+1} \le a_n$ 的 $n$（最小值）。

方法二：不等式法（最值的标准做法）

求最大项：找到满足 $a_n \ge a_{n-1}$ 且 $a_n \ge a_{n+1}$ 的 $n$。

意思就是：这一项既比左边的大，又比右边的大，那它就是一个极大值点（可能就是最大值）。

用不等式组写出来：

$$\begin{cases} a_n \ge a_{n-1} \\ a_n \ge a_{n+1} \end{cases}$$

解这个不等式组，就能得到 $n$ 的取值范围，再结合 $n$ 是正整数，就能确定最大值在第几项。

同理，求最小项就是解 $a_n \le a_{n-1}$ 且 $a_n \le a_{n+1}$。

这是求数列最值最标准、最稳妥的方法，高考考最值几乎都是用这个方法做。

和函数最值的区别

你可能会说：既然 $a_n = f(n)$，那我直接求 $f(x)$ 的最值，再找最近的整数点不行吗？

可以，但要小心。因为函数的最值点不一定恰好落在整数上，而且有时候离对称轴最近的整数点不一定是最值点——需要比较两个相邻的整数点。

举个例子：如果 $f(x)$ 是开口向上的抛物线，对称轴在 $x = 3.2$，那么最小值在 $x=3$ 还是 $x=4$？

你可能会说 3，因为 3 离 3.2 更近。

但不对——不能只看距离，要算出来比一下。

因为抛物线虽然对称，但整数点离对称轴的距离和函数值的关系不是线性的。离对称轴同样距离的两个点函数值相等，但如果一个离 0.2、一个离 0.8，那当然是近的那个更小。

等等，那刚才那个例子 $x=3.2$，3 离 0.2，4 离 0.8，确实是 3 更小啊？

没错，但如果对称轴在 3.5 呢？那 3 和 4 离对称轴一样远，函数值相等，两个都是最小值。

所以正确的做法是：

1. 先找到连续函数 $f(x)$ 的对称轴（或最值点）$x_0$
2. 看 $x_0$ 附近的两个整数：$n_1 = \lfloor x_0 \rfloor$ 和 $n_2 = \lceil x_0 \rceil$
3. 计算 $a_{n_1}$ 和 $a_{n_2}$，比较哪个更大（或更小）

永远不要凭"距离远近"直接下结论，要算出来比一比。 虽然大多数时候最近的那个就是最值点，但总有例外——尤其是当函数不对称或者是更复杂的函数的时候。

几个典型的数列最值问题

类型一：等差数列前 n 项和的最值

等差数列的前 $n$ 项和 $S_n = \dfrac{d}{2}n^2 + \left(a_1 - \dfrac{d}{2}\right)n$，是关于 $n$ 的二次函数。

如果公差 $d > 0$，开口向上，$S_n$ 有最小值；如果 $d < 0$，开口向下，$S_n$ 有最大值。

最值在哪里？在 $S_n$ 从增变减（或从减变增）的地方。

最经典的问题：

等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 > 0$，$d < 0$，求 $S_n$ 的最大值。

思路：前面的项是正的，加进去让 $S_n$ 变大；后面的项是负的，加进去让 $S_n$ 变小。所以 $S_n$ 的最大值出现在最后一个正数项（或 0 项）的位置。

找 $a_n \ge 0$ 且 $a_{n+1} \le 0$ 的 $n$，就是 $S_n$ 最大的时候。

这个思路比套二次函数对称轴的方法更直观，也不容易错。

类型二：先增后减数列的最大项

比如数列 $a_n = \dfrac{n}{n^2 + 10}$，它的最大项是第几项？

用不等式法：

$$a_n \ge a_{n-1} \quad \text{且} \quad a_n \ge a_{n+1}$$

代入通项，解不等式组，就能得到 $n$ 的范围。

也可以用函数的思路：设 $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 10}$，求导找极值点，再比较附近的整数。

两种方法都能做，看你习惯哪个。

类型三：摆动数列的最值

如果数列是摆动的（比如 $a_n = (-1)^n \cdot n$），就没有单调意义上的最值了——它一会儿大一会儿小。

这时候要看你问的是什么最值：

• 最大值：看所有正项里最大的
• 最小值：看所有负项里最小的
• 绝对值的最值：取绝对值再研究

摆动数列的最值一般比单调数列复杂，需要分类讨论。

一个容易错的点：n 是正整数

这话说了很多遍了，但做题的时候还是容易忘。

举个例子：你算出来最值在 $n = 3.7$，那你得比较 $n=3$ 和 $n=4$ 哪个更大，不能直接取整。

再比如：你算出来 $n < 5.2$ 时数列递增，$n > 5.2$ 时递减，那最大值在第几项？在 $n = 5$，因为 $n$ 只能取整数，$5.2$ 不是合法的 $n$。

数列问题，最后一定要检查一下你的答案是不是正整数。 这是跟函数问题最大的区别。

在高中数学体系里的位置

数列的单调性和最值，是函数思想在数列中的直接应用，也是高考常考的一个点。

它通常不会单独出一道大题，而是作为大题的某一问出现——比如第一问求通项，第二问求前 n 项和，第三问问"前几项和最大"或者"第几项最大"。

这部分内容的难度不算大，但出错率很高。为什么？因为很多同学把数列完全当成函数来做，忽略了"n 是正整数"这个关键限制。

常见的错误：

1. 直接用函数求导，然后把最值点四舍五入取整——正确做法是比较附近两个整数点
2. 解不等式的时候忘了 $n$ 必须是正整数，得到一个小数就直接当答案了
3. 作商法的时候没注意数列各项是否同号

所以学这部分，关键不是方法多难，而是细节要注意。方法就那么几个（作差、作商、不等式组），但每一步都要想到"n 是整数"这件事。

思考与拓展

1. 等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 = 20$，$d = -3$，求前 $n$ 项和 $S_n$ 的最大值。你能用几种方法做？
2. 数列 $a_n = \dfrac{n - \sqrt{98}}{n - \sqrt{99}}$，它的最大项是第几项？最小项呢？（提示：分离常数，把它看成反比例函数平移）
3. 已知数列 $\{a_n\}$ 的通项是 $a_n = n^2 - 7n + 10$。
   • 这个数列从第几项开始递增？
   • 它的最小项是第几项？最小值是多少？
   • 如果把通项改成 $a_n = n^2 - 7.5n + 10$，最小项还是同一项吗？为什么？
4. 如果一个数列的前 $n$ 项和 $S_n = an^2 + bn + c$（$c \neq 0$），这个数列还是等差数列吗？为什么？

一句话总结

数列的最值和函数的最值思路一样，但因为 n 是正整数，你得在对称轴附近比一比——离得近的不一定就是最值点。