第5讲 等差数列求和——倒序相加的智慧

从高斯的故事说起

你可能听过这个故事：

高斯上小学的时候，老师给全班出了一道题——计算 $1 + 2 + 3 + \ldots + 100$，想让孩子们安分一会儿。

结果不到一分钟，小高斯就举手说：老师，我算完了，答案是 5050。

老师很惊讶，问他怎么算这么快。

高斯说：我把这串数倒过来和原来的加在一起——

$$\begin{aligned} &\ \ 1 + 2 + 3 + \ldots + 100 \\ + &100 + 99 + 98 + \ldots + 1 \\ = &101 + 101 + 101 + \ldots + 101 \end{aligned}$$

一共 100 个 101，所以总和是 $100 \times 101$，但这是两倍的答案，所以要除以 2：

$$\frac{100 \times 101}{2} = 5050$$

这个故事的真实性有争议，但这个方法是真的厉害。它有个名字，叫倒序相加法。

高斯算的其实就是等差数列 $\{n\}$ 的前 100 项和。而倒序相加法，就是推导等差数列求和公式的经典方法。

示意图

求和公式的推导

设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，即：

$$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n$$

我们用倒序相加法来推导。

把 $S_n$ 正着写一遍，再倒着写一遍：

$$\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n \\ S_n &= a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \ldots + a_1 \end{aligned}$$

两式相加：

$$2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + (a_3 + a_{n-2}) + \ldots + (a_n + a_1)$$

现在看右边的每一对。根据上一讲学的脚标和性质：

• 第一对：$a_1 + a_n$，脚标和 $1 + n = n+1$
• 第二对：$a_2 + a_{n-1}$，脚标和 $2 + (n-1) = n+1$
• 第三对：$a_3 + a_{n-2}$，脚标和 $3 + (n-2) = n+1$
• ……

每一对的脚标和都是 $n+1$，所以每一对的和都相等，都等于 $a_1 + a_n$。

一共有多少对？$n$ 对。

所以：

$$2S_n = n \cdot (a_1 + a_n)$$

两边除以 2：

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

这就是等差数列的前 $n$ 项和公式。

倒序相加法为什么能成立？本质上就是利用了等差数列的对称性——到两端距离相等的两项之和相等。没有这个对称性，倒过来加就没有意义。所以这个方法是等差数列专属的，不是随便什么数列都能用。

公式的另一种形式

上面那个公式是用首项和末项表示的：

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

但有时候你不知道末项 $a_n$，只知道首项 $a_1$ 和公差 $d$。那怎么办？

把通项公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 代进去：

$$S_n = \frac{n[a_1 + a_1 + (n-1)d]}{2} = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}$$

也就是：

$$S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$$

这是求和公式的第二种形式，用首项和公差表示。

两个公式各有用场：

• 知道首项和末项 → 用第一个公式 $S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$
• 知道首项和公差 → 用第二个公式 $S_n = na_1 + \dfrac{n(n-1)}{2}d$

但你其实不用特意记两个。记住第一个，第二个用通项公式推一下就出来了。 记少一点，反而不容易搞混。

从函数视角看求和公式

把第二个公式整理一下：

$$S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d = \frac{d}{2}n^2 + \left(a_1 - \frac{d}{2}\right)n$$

令 $A = \dfrac{d}{2}$，$B = a_1 - \dfrac{d}{2}$，那么：

$$S_n = An^2 + Bn$$

这是一个关于 $n$ 的二次函数，而且常数项为 0。

所以：

• 等差数列的前 $n$ 项和 $S_n$ 是 $n$ 的二次函数（当 $d \neq 0$ 时）
• 二次项系数是公差的一半：$A = \dfrac{d}{2}$
• 常数项一定是 0（因为 $S_0 = 0$，0 项的和当然是 0）

这个视角非常有用。比如：

• 判断一个数列是不是等差数列，可以看它的前 $n$ 项和是不是常数项为 0 的二次函数
• 求 $S_n$ 的最大值最小值，就相当于求二次函数的最值——不过注意 $n$ 只能取正整数，所以要看抛物线对称轴附近的整数点
• $S_n$ 的图像是抛物线上的孤立点

我们后面讲到数列最值的时候会详细展开。

一个重要的性质

上一讲我们提到过一个性质，现在可以正式证明了：

等差数列中，依次每 $k$ 项之和仍成等差数列。

也就是：$S_k,\ S_{2k} - S_k,\ S_{3k} - S_{2k},\ \ldots$ 成等差数列。

用倒序相加的思想来理解这个性质很直观：

• 第一个 $k$ 项的和：$a_1 + a_2 + \ldots + a_k$
• 第二个 $k$ 项的和：$a_{k+1} + a_{k+2} + \ldots + a_{2k}$
• 第三个 $k$ 项的和：$a_{2k+1} + a_{2k+2} + \ldots + a_{3k}$

第二段的每一项都比第一段对应的项多了 $kd$（往后挪了 $k$ 个位置，每个位置差 $d$），一共 $k$ 项，所以第二段比第一段多了 $k^2d$。

同理，第三段比第二段也多 $k^2d$。

所以这三段的和构成了一个新的等差数列，公差是 $k^2d$。

这个性质在做选择填空题的时候特别好用，能省去很多计算。

求和公式的灵活运用

等差数列求和说起来就一个公式，但用起来变化很多。这里说几个常见的技巧。

技巧一：选择合适的公式

看到求和题，先看看题目给的是什么条件：

• 给了首项和末项 → $S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$
• 给了首项和公差 → $S_n = na_1 + \dfrac{n(n-1)}{2}d$
• 给了中间项 → 考虑用对称性，比如奇数项的和 = 项数 × 中间项

举个例子：等差数列共 9 项，第 5 项是 10，求前 9 项的和。

$$S_9 = \frac{9(a_1 + a_9)}{2} = \frac{9 \times 2a_5}{2} = 9a_5 = 90$$

根本不用算首项和公差，用中项一代就出来了。

技巧二：$S_n$ 与 $a_n$ 的关系

知道了前 $n$ 项和 $S_n$，怎么求通项 $a_n$？

很简单：

$$a_n = \begin{cases} S_1, & n = 1 \\ S_n - S_{n-1}, & n \ge 2 \end{cases}$$

这个关系对任何数列都成立，不只是等差数列。前 $n$ 项和减去前 $n-1$ 项和，剩下的当然就是第 $n$ 项了。

但注意：$n=1$ 的时候要单独算，因为 $S_0$ 一般没定义（虽然在等差的情况下 $S_0 = 0$，但其他数列不一定）。

技巧三：奇偶项问题

等差数列中，如果告诉你前 $n$ 项中奇数项的和与偶数项的和，怎么处理？

核心思路：奇数项构成一个新的等差数列，偶数项也构成一个新的等差数列，公差都是 $2d$。

如果总共有 $2n$ 项（偶数项）：

• 偶数项之和 − 奇数项之和 = $nd$（每一对偶项比奇项多 $d$，共 $n$ 对）

如果总共有 $2n+1$ 项（奇数项）：

• 奇数项之和 − 偶数项之和 = $a_{n+1}$（中间项，多出来的那一项）

这些结论不用死记，画个图、分个类就出来了。

在高中数学体系里的位置

等差数列求和是数列章节里最重要的考点之一，几乎是高考必考。

从题型上看，它可以出现在任何位置：

• 选择填空：直接考公式应用、性质运用，难度中等
• 解答题第一问：给递推关系，先证等差再求和，属于基础分
• 综合大题：和不等式、函数结合，考 $S_n$ 的最值、放缩证明，难度较大

从思想方法上看，倒序相加法是高中数学里几个经典的求和技巧之一，后面学组合数的时候你还会遇到它。它体现了一种很重要的思维方式：当直接相加不容易的时候，试试改变相加的顺序，看看能不能找到某种对称性来简化计算。

除了倒序相加，高中阶段还要学错位相减、裂项相消、分组求和等方法——但倒序相加是第一个，也是最能体现"利用对称性"思想的一个。

所以学这一讲，不要只记住了两个求和公式就完事了。倒序相加法本身，比公式更值得理解。

思考与拓展

1. 等差数列 $\{a_n\}$ 中，$S_{10} = 100$，$S_{20} = 400$，求 $S_{30}$。你能用几种方法做？
2. 等差数列的前 $n$ 项和 $S_n = 3n^2 + 2n$，求这个数列的通项公式和公差。
3. 一个等差数列共有 20 项，所有奇数项的和是 80，所有偶数项的和是 120，求公差 $d$。
4. 倒序相加法只能用于等差数列吗？你能不能想出一个不是等差数列、但也可以用倒序相加法求和的数列？（提示：想想什么函数有 $f(x) + f(1-x) =$ 常数 这样的性质）

一句话总结

等差数列求和公式有两个，但它们都来自同一个思想——倒序相加。利用对称性，把难算的加法变成简单的乘法。