三棱锥

先求底面 $\triangle BCD$ 的面积。

$BC=2$，$BD=2$，$DC=2\sqrt{3}$。

$\triangle BCD$ 是等腰三角形，$BC=BD=2$，$DC=2\sqrt{3}$。

由余弦定理：$\cos\angle CBD=\frac{BC^2+BD^2-DC^2}{2\cdot BC\cdot BD}=\frac{4+4-12}{8}=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}$。

$\angle CBD=\frac{2\pi}{3}=120°$。

$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot BD\cdot\sin\angle CBD=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。

再求高。$A$ 到底面 $BCD$ 的距离为 $h$。

$AD=AB=AC=2\sqrt{2}$，即 $A$ 到底面三个顶点距离相等，$A$ 在底面 $BCD$ 上的投影为 $\triangle BCD$ 的外心。

先求 $\triangle BCD$ 的外接圆半径 $R$。由正弦定理：$\frac{DC}{\sin\angle CBD}=2R$。

$2R=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$，$R=2$。

$h=\sqrt{AD^2-R^2}=\sqrt{8-4}=2$。

体积 $V=\frac{1}{3}S_{\triangle BCD}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}\cdot 2=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

底面面积为 $\sqrt{3}$，体积为 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$。