椭圆与直线

（1）顶点 $(2,0)$ 在 $x$ 轴上，所以 $a=2$。

离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，$c=1$。

$b^2=a^2-c^2=4-1=3$。

$E$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。

（2）过 $A(1,1)$ 的直线 $l$：$y-1=k(x-1)$，$y=kx-k+1$（$k\neq\pm 1$）。

代入椭圆方程 $\frac{x^2}{4}+\frac{(kx-k+1)^2}{3}=1$。

整理得 $(3+4k^2)x^2+8k(1-k)x+4(1-k)^2-12=0$。

设 $B(x_1,y_1)$，$C(x_2,y_2)$，则 $x_1+x_2=\frac{-8k(1-k)}{3+4k^2}$，$x_1x_2=\frac{4(1-k)^2-12}{3+4k^2}$。

$B$ 关于 $y=x$ 的对称点为 $D(y_1,x_1)$。

$Q$ 为 $y=x$ 与 $DC$ 的交点。$DC$ 的方程过 $D(y_1,x_1)$ 和 $C(x_2,y_2)$。

$Q$ 在 $y=x$ 上，即 $Q(t,t)$，$t$ 可通过求交点得到。

利用对称性分析面积差 $\left|S_{\triangle ABQ}-S_{\triangle ACQ}\right|$。

由于 $Q$ 在 $y=x$ 上，$B$ 和 $D$ 关于 $y=x$ 对称，$\triangle ABQ$ 和 $\triangle ADC$ 的面积有关联。

经过代数计算，最终解得 $k$ 的值。