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三角函数 · 第 3 讲 · 2026-09-02 · 约 8 分钟

第3讲 同角三角函数的基本关系——一个公式推倒一片

平方关系和商数关系不是要背的公式，而是单位圆定义的直接推论。理解了来源，就不需要背了。

平方关系

从单位圆定义出发，sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 是圆的方程 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 的直接翻译。这是所有三角恒等式的根基。

用途：

  • 已知一个三角函数值，求另一个（需要知道象限）
  • 化简含 sin⁡2α\sin^2 \alpha 和 cos⁡2α\cos^2 \alpha 的式子
  • 证明其他恒等式

商数关系

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

这也是定义的直接推论——tan 就是 sin 除以 cos。

万能公式（辅助推导）

由平方关系，我们可以推导出一些常用变形：

1+tan⁡2α=sec⁡2α(即 1+tan⁡2α=1cos⁡2α)1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha \quad (\text{即 } 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}) 1+cot⁡2α=csc⁡2α(即 1+cot⁡2α=1sin⁡2α)1 + \cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha \quad (\text{即 } 1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha})

这些不是独立的公式，都是从平方关系和商数关系推出来的。

一个经典应用：齐次式

形如 asin⁡2α+bsin⁡αcos⁡α+ccos⁡2αdsin⁡2α+esin⁡αcos⁡α+fcos⁡2α\dfrac{a\sin^2 \alpha + b\sin \alpha \cos \alpha + c\cos^2 \alpha}{d\sin^2 \alpha + e\sin \alpha \cos \alpha + f\cos^2 \alpha} 的式子，分子分母同时除以 cos⁡2α\cos^2 \alpha，全部变成 tan α 的形式，然后代入计算。

在高中数学体系里的位置

同角三角函数关系是三角恒等变换的基础工具。后续所有公式推导（和差角、二倍角、辅助角……）都要用到平方关系和商数关系。

掌握程度要求：看到任意三角式子，能够立刻联想到用平方关系或商数关系进行转化。

思考与拓展

  1. 已知 tan⁡α=2\tan \alpha = 2，求 sin⁡α+cos⁡αsin⁡α−cos⁡α\dfrac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} 的值。
  2. 已知 sin⁡α=13\sin \alpha = \dfrac{1}{3}，且 α\alpha 为第二象限角，求 cos⁡α\cos \alpha 和 tan⁡α\tan \alpha。
  3. 证明：1−cos⁡αsin⁡α=sin⁡α1+cos⁡α\dfrac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \dfrac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}。
  4. 如果 sin⁡α+cos⁡α=15\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{1}{5}，求 sin⁡αcos⁡α\sin \alpha \cos \alpha 和 sin⁡3α+cos⁡3α\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha。

一句话总结

同角关系就三个：平方关系、商数关系、以及它们的变形。记住"sin²+cos²=1"和"tan=sin/cos"，其他的都能推出来。

— Y. · 2026-09-02