第2讲 三角函数的定义——单位圆上的坐标

从直角三角形到单位圆

初中我们学过三角函数：

$$\sin \alpha = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}},\quad \cos \alpha = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}},\quad \tan \alpha = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$$

这个方法简单直观，但它有两个致命的缺点：

1. 只适用于锐角（$0 < \alpha < 90°$）。一旦角变成了钝角、平角甚至负角，直角三角形就不存在了，定义就失效了。
2. 依赖具体的三角形。同一个角的三角函数值，在不同的直角三角形里算出来是一样的，但这个"一样"需要额外证明。

解决这两个问题的办法只有一个：把三角函数定义在单位圆上。

单位圆定义

在平面直角坐标系中，以原点 $O$ 为圆心，以 1 为半径作圆，这个圆叫做单位圆。

设 $\alpha$ 是一个任意角，它的顶点在原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点 $P(x, y)$。

那么：

$$\cos \alpha = x, \quad \sin \alpha = y, \quad \tan \alpha = \frac{y}{x} \ (x \neq 0)$$

正弦就是点的 y 坐标，余弦就是点的 x 坐标，正切就是纵坐标除以横坐标。

就这么简单。一个定义，同时解决了"只适用于锐角"和"依赖具体三角形"两个问题。

为什么这样定义是对的

你可能会问：这个定义和初中的定义矛盾吗？

不矛盾。对于锐角，单位圆上的定义和直角三角形的定义是等价的。

具体来说：设 $\alpha$ 是一个锐角，终边与单位圆交于 $P(x, y)$。过 $P$ 作 x 轴的垂线，垂足为 $M$。那么 $\triangle OMP$ 就是一个直角三角形，其中：

• 斜边 $OP = 1$（单位圆的半径）
• 邻边 $OM = x = \cos \alpha$
• 对边 $PM = y = \sin \alpha$

所以：

$$\sin \alpha = \frac{PM}{OP} = \frac{y}{1} = y$$ $$\cos \alpha = \frac{OM}{OP} = \frac{x}{1} = x$$

这与初中的定义完全一致。区别只在于：单位圆定义把三角形"缩小"成了一个单位圆上的点。

三角函数在各象限的符号

从单位圆定义出发，三角函数的符号一眼就能看出来：

象限	sin α	cos α	tan α
一	+	+	+
二	+	-	-
三	-	-	+
四	-	+	-

记忆口诀："全正、正弦、正切、余弦"——第一象限全正，第二象限只有 sin 为正，第三象限只有 tan 为正，第四象限只有 cos 为正。

这个符号规律非常有用。比如你算出一个 sin 值是正的，你就知道这个角的终边在第一或第二象限；算出 cos 是负的，就知道在第二或第三象限。两个条件一组合，角的位置就确定了。

一个重要的恒等式

从定义出发，我们立刻可以得到一个最基本的关系：

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

为什么？因为点 $P(x, y)$ 在单位圆上，所以 $x^2 + y^2 = 1$。而 $x = \cos \alpha$，$y = \sin \alpha$，所以：

$$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$$

这就是平方关系——所有三角函数公式的根基。

三角函数的定义域

从单位圆定义看：

• $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$：定义域是全体实数 $\mathbb{R}$，因为任何角都有单位圆上的对应点
• $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$：定义域是 $\alpha \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$），因为 $\cos \alpha = 0$ 时没有定义

这也是为什么 tan 的图像有"断点"——在每个 $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$ 处，函数值趋向无穷大。

在高中数学体系里的位置

这一讲是三角函数整个章节的基石。

后续所有的内容——同角三角函数关系、诱导公式、图像性质、三角恒等变换——都是从单位圆定义出发的。理解了单位圆定义，这些内容就不需要死记硬背，而是可以"推"出来的。

特别重要的是：把三角函数看作是定义域为 $\mathbb{R}$ 的函数。这个认识让三角函数从"解三角形的工具"升级为"数学分析的基础函数"，为后续的导数、积分、级数等内容打下基础。

思考与拓展

1. 已知 $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$，且 $\alpha$ 在第二象限，求 $\cos \alpha$ 和 $\tan \alpha$。
2. 不用计算器，判断 $\sin 200°$、$\cos 200°$、$\tan 200°$ 的正负。
3. 你能从单位圆定义出发，证明 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ 对任意角 $\alpha$ 成立吗？
4. 如果圆的半径不是 1 而是 $r$，那么三角函数应该怎么定义？定义出来的结果和半径为 1 时一样吗？

一句话总结

三角函数就是单位圆上点的坐标——sin 是纵坐标，cos 是横坐标，tan 是纵比横。单位圆的半径是 1，所以坐标本身就是比值。