第4讲 双曲线的定义与标准方程——差为定值的轨迹

一字之差的两种曲线

椭圆的定义我们已经很熟了：平面内到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

那如果把"和"改成"差"呢？

平面内与两个定点 $F_1, F_2$ 的距离的差的绝对值等于常数（小于 $|F_1F_2|$）的点的轨迹叫做什么？

这就是我们这一讲的主角——双曲线。

一个"和"，一个"差"，一字之差，曲线的性格却天差地别：

• 椭圆是封闭的，有一支
• 双曲线是开放的，有两支
• 椭圆上的点都"在里面"
• 双曲线上的点都"在外面"

但是，它们的研究方法几乎是平行的——定义、标准方程、几何性质、离心率…… 结构几乎一样，只是有些地方反过来了。

学双曲线，最好的方法就是和椭圆对照着学。

双曲线的定义

平面内与两个定点 $F_1, F_2$ 的距离的差的绝对值等于常数（小于 $|F_1F_2|$ 且大于 0）的点的轨迹叫做双曲线。

用公式写：

$$||PF_1| - |PF_2|| = 2a \quad (\text{常数，且 } 0 < 2a < |F_1F_2|)$$

这里有几个关键词，一个都不能少：

关键词一：绝对值

为什么要有绝对值？因为如果没有绝对值，那只是双曲线的一支。

• $|PF_1| - |PF_2| = 2a$ → 离 $F_2$ 更近的那一支（右支）
• $|PF_2| - |PF_1| = 2a$ → 离 $F_1$ 更近的那一支（左支）

加了绝对值，才是完整的双曲线——两支都包含在内。

关键词二：小于焦距

椭圆里我们说常数要大于焦距，双曲线里反过来——常数要小于焦距。

为什么？三角形两边之差小于第三边。在三角形 $PF_1F_2$ 中，$||PF_1| - |PF_2|| < |F_1F_2|$，这是三角形的基本性质。

如果常数等于焦距呢？那轨迹就不是双曲线了，而是两条射线（从两个焦点出发、背向对方的射线）。

如果常数大于焦距呢？那就没有这样的点了——违背三角形不等式，轨迹不存在。

关键词三：大于 0

如果常数等于 0，那 $|PF_1| = |PF_2|$，轨迹就是线段 $F_1F_2$ 的垂直平分线，是一条直线，不是双曲线。

所以定义里才要说"大于 0 且小于焦距"——上下都得限制。

示意图

双曲线的基本要素

和椭圆对照着看：

• 焦点：两个定点 $F_1, F_2$
• 焦距：两焦点之间的距离 $|F_1F_2| = 2c$
• 顶点：双曲线和 x 轴的交点 $A_1, A_2$
• 实轴：两个顶点之间的线段 $A_1A_2$，长度是 $2a$
• 实半轴：$a$，实轴长度的一半
• 虚轴：长度是 $2b$（后面解释为什么叫"虚"的）
• 虚半轴：$b$

你可能注意到了，椭圆里有 $a, b, c$，双曲线里也有 $a, b, c$，但它们的关系不一样。

椭圆里是：$a^2 = b^2 + c^2$（$a$ 最大）

双曲线里是：$c^2 = a^2 + b^2$（$c$ 最大）

看到了吗？刚好反过来了。椭圆里 $a$ 是老大，双曲线里 $c$ 是老大。

这个区别一定要记牢。记混了的话，就想：

• 椭圆里焦点在里面，所以 $c < a$
• 双曲线里焦点在外面（两支的外面），所以 $c > a$

标准方程的推导

和椭圆一样，我们也来推导一下双曲线的标准方程。过程和椭圆很像，你可以自己先试试，再往下看。

第一步：建系

还是让焦点在 x 轴上，关于原点对称。$F_1(-c, 0)$，$F_2(c, 0)$。

第二步：列方程

设双曲线上任意一点 $P(x, y)$，根据定义：

$$||PF_1| - |PF_2|| = 2a$$

去掉绝对值，写成两种情况：

$$|PF_1| - |PF_2| = \pm 2a$$

代入距离公式：

$$\sqrt{(x + c)^2 + y^2} - \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = \pm 2a$$

第三步：化简

和椭圆一样，移项、平方、再移项、再平方。过程很类似，我们就不一步步展开了，直接看结果。

化简完了是：

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$

其中 $b^2 = c^2 - a^2$（这就是刚才说的，$c^2 = a^2 + b^2$）。

这就是双曲线的标准方程（焦点在 x 轴上）。

对比椭圆的标准方程：$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

看到了吗？就是把加号改成了减号。就这么点区别，但曲线的形状完全变了——从封闭的椭圆变成了开放的双曲线。

数学里有时候就是这么神奇，一个符号的改变，带来天翻地覆的变化。

焦点在 y 轴上的情况

如果焦点在 y 轴上，标准方程就是：

$$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$$

怎么判断焦点在哪个轴上？和椭圆不一样哦。

椭圆的判断方法：看哪个分母大，焦点就在哪个轴上。因为 $a$ 是大的那个，$a^2$ 在哪边，焦点就在哪边。

双曲线呢？看哪个变量是正的，焦点就在哪个轴上。

• $x^2$ 的系数为正 → 焦点在 x 轴上
• $y^2$ 的系数为正 → 焦点在 y 轴上

因为双曲线里 $a^2$ 总是正项的分母，$b^2$ 总是负项的分母。不需要比大小，看符号就行。

比如：

• $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ → $x^2$ 正 → 焦点在 x 轴
• $\dfrac{y^2}{25} - \dfrac{x^2}{4} = 1$ → $y^2$ 正 → 焦点在 y 轴

一个新概念：渐近线

双曲线有一个椭圆没有的特殊性质——渐近线。

什么是渐近线？就是当双曲线的点无限延伸出去的时候，它会无限接近某两条直线，但永远不会和这两条直线相交。这两条直线就叫做双曲线的渐近线。

对于焦点在 x 轴上的双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，它的渐近线方程是：

$$y = \pm \frac{b}{a}x$$

怎么来的？可以这么理解：当 $x$ 很大的时候，1 相对于 $\dfrac{x^2}{a^2}$ 来说可以忽略不计，方程近似变成 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 0$，也就是 $y = \pm \dfrac{b}{a}x$。

当然严格的证明需要用到极限的思想，这里先有个印象就行。

渐近线是双曲线非常独特的性质。椭圆是封闭的，没有什么"无限延伸"的问题；但双曲线是无限延伸的，延伸的趋势就是沿着渐近线走的。

为什么叫"虚轴"

现在你大概能理解为什么叫"虚轴"了。

双曲线和 x 轴有交点（顶点），和 y 轴没有交点。但我们还是画了一条虚的轴，长度是 $2b$——因为这条轴虽然和双曲线不相交，但它和渐近线密切相关（渐近线的斜率就是 $\pm \dfrac{b}{a}$），而且在性质和公式中经常出现。

所以叫"虚轴"——不是真的和双曲线相交的轴，而是一个"虚拟"的轴。

双曲线的离心率

和椭圆一样，双曲线也有离心率：

$$e = \frac{c}{a}$$

形式完全一样，但范围不一样：

• 椭圆：$0 < e < 1$
• 双曲线：$e > 1$

因为双曲线里 $c > a$（由 $c^2 = a^2 + b^2$ 可知），所以离心率一定大于 1。

离心率描述什么？还是描述曲线的"形状"——

• $e$ 越接近 1，开口越小（越"窄"）
• $e$ 越大，开口越大（越"宽"）

因为 $e^2 = \dfrac{c^2}{a^2} = \dfrac{a^2 + b^2}{a^2} = 1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2$，所以 $\dfrac{b}{a} = \sqrt{e^2 - 1}$。而渐近线的斜率就是 $\pm \dfrac{b}{a}$，所以：

离心率越大，渐近线的斜率越大，双曲线的开口就越宽。

还是和椭圆对照：

• 椭圆：$e$ 越大越扁，$e = 0$ 变成圆
• 双曲线：$e$ 越大越宽，$e = 1$ 变成"两条射线"

一个从 0 往 1 走，一个从 1 往无穷走，$e = 1$ 就是它们的分界线——抛物线。 （准确说，抛物线的离心率就是 1。完美衔接。）

在高中数学体系里的位置

双曲线在高中的地位，比椭圆稍微低一点，但也是必考内容。

为什么说地位稍低？因为双曲线的题一般不会作为压轴题（压轴题通常是椭圆或抛物线），双曲线的题更多出现在选择填空，或者大题的第一问。而且双曲线的性质和椭圆高度平行，学完椭圆之后学双曲线很快。

但双曲线有几个独特的考点是椭圆没有的：

1. 两支的问题——题目给的是双曲线的一支还是两支？这个要注意
2. 渐近线——双曲线独有的，经常考
3. 和椭圆的对比辨析——概念题里经常混着考

所以学双曲线，关键是抓住和椭圆的异同。相同的地方不用再学一遍，不同的地方重点记——比如 $c^2 = a^2 + b^2$（不是减）、离心率 $e > 1$（不是小于）、有渐近线（椭圆没有）、有两支。

思考与拓展

1. 双曲线的定义里说"差的绝对值"。如果去掉"绝对值"，$|PF_1| - |PF_2| = 2a$ 表示的是双曲线的哪一支？为什么？
2. 已知双曲线方程 $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$，求 $a, b, c$ 和离心率，以及渐近线方程。
3. 椭圆和双曲线都有 $a, b, c, e$ 这四个量，但它们的关系不一样。你能做一个对照表，把它们的区别和联系都列出来吗？
4. 双曲线的渐近线方程是 $y = \pm \dfrac{b}{a}x$。如果我把双曲线方程右边的 1 换成 0，解出来的两条直线就是渐近线。为什么？你能从代数的角度给一个直观的解释吗？

一句话总结

双曲线就是椭圆的"差版"——距离之差为定值，c 比 a 大，e 比 1 大，还有椭圆没有的渐近线。对照着椭圆学，双曲线一点都不难。