第4讲 筹算乘法——九九八十一，自相乘

原典

九九八十一，自相乘，得几何？

答曰：六千五百六十一。

术曰：重置其位，以上八呼下八，八八六十四，即下六千四百于中位。以上八呼下一，一八如八，即于中位下八十。退下位一等，收上头位八十以上位一呼下八，一八如八，即于中位下八十。以上一呼下一，一一如一，即于中位下一。上下位俱收中位，即得六千五百六十一。

——《孙子算经·卷上》

白话翻译

题目很简单：81 乘以 81，等于多少？

答案是 6561。

但"怎么算"的过程，才是精彩的部分。孙子给出了详细的操作步骤：

第一步，把两个 81 上下排好位置（"重置其位"）。 第二步，用上面那位的十位数"八"，去乘下面那位的十位数"八"——得到 64，但这个 64 表示的是 64 个百（因为是十位×十位），所以写在中间位作为"六千四百"。 第三步，用上面那位的十位数"八"，去乘下面那位的个位数"一"——得到 8，表示 8 个十（十位×个位），写成"八十"，加在中间位。 第四步，把上面的 81 往左移一位（"退下位一等"），现在用上面那位的个位数"八"，去乘下面那位的十位数"八"——又得到 64，这个 64 表示 64 个十，所以写成"六百四十"加在中间位。 第五步，用上面那位的个位数"八"，去乘下面那位的个位数"一"——得到 8，写成 80（个位×十位），加在中间位。 第六步，最后用上面那位的个位数"一"，去乘下面那位的个位数"一"——得到 1，写成 1，加在中间位。 第七步，把所有部分积加起来：6400 + 80 + 640 + 8 + 1 = 6561。

看，这就是古代的竖式乘法。只不过不是写在纸上，而是用算筹摆出来，一步一步操作。

示意图

数学解读

1. 孙子算法与现代竖式的对应关系

把孙子的文字描述翻译成现代竖式，是这样的：

$$\begin{aligned} &\phantom{+}81 \\ \times \;&81 \\ \hline &\phantom{+}81 \quad \text{（8 × 1，个位×个位）——注意这里孙子写的是80} \\ &640 \quad \text{（8 × 80，个位×十位）——孙子写作"六百四十"，实际是64×10} \\ &80 \quad \text{（1 × 80，个位×十位）} \\ +&6400 \quad \text{（1 × 80，十位×十位，进位后为6400）} \\ \hline &6561 \end{aligned}$$

其实仔细对照孙子的原文，你会发现他的算法和我们的标准竖式几乎一模一样——只是顺序不同。我们通常从右向左逐位相乘，而孙子则是按照上位的每一位分别去乘下位的每一位，最后统一汇总。

本质上，这就是乘法分配律的展开：

$$81 \times 81 = (80 + 1) \times (80 + 1) = 80^2 + 2 \times 80 \times 1 + 1^2 = 6400 + 160 + 1 = 6561$$

孙子的步骤恰好对应了 $a^2 + 2ab + b^2$ 的展开过程，只不过他没有用代数符号，而是用文字描述每一步的操作。

2. "以上命下"：位值制的核心秘密

孙子在讲解乘法之前，先说了一句非常重要的话：

凡乘之法：重置其位，上下相观，头位有十步，至十有百步，至百有千步，至千以上命下，所得之数列于中。

这句话的意思是：摆放算筹的时候，要先看清楚数位的位置——个位、十位、百位、千位，依次排列。"头位"是最高的那一位，往下数，十步到百，百步到千，以高位来命名低位的量级（"以上命下"）。

这才是筹算能够成功的关键：位值制。同样的数字"8"，摆在个位就是8，摆在十位就是80，摆在百位就是800。古人不用"0"这个占位符，而是通过算筹在算筹板上的位置来表达数位——这比印度-阿拉伯数字的位值概念早了好几百年。

3. 九九表：古代的计算引擎

孙子之所以能这么快算出 81 × 81，靠的不是心算能力，而是对九九乘法表的熟练掌握。九九表是中国古代儿童入学必背的内容，据说在两千年前的春秋时期就已经流传了。

有趣的是，当时的九九表是从"九九八十一"开始，而不是从"一一得一"开始——就像我们今天教英语字母从 A 到 Z，而古代的数学口诀从最大开始倒着背。这种"大九九"（81句）的背诵方式，一直延续到唐代。到了宋代，才逐渐演变为"小九九"（36句，只背"小因大因"，不背"大因小因"，如"八九七十二"而非"九八七十二"）。

版本	句数	特点
大九九	81 句	从"九九八十一"到"一一得一"，正反都背
小九九	36 句	只背较小数在前的口诀，省略冗余
西方九九表	100 句	1×1 到 9×9，包含交换律重复项

4. 为什么"八十一，自相乘"要拆成四步？

你可能会问：既然有乘法分配律，直接 $(80+1)^2$ 不就行了吗？为什么还要分四步走？

原因在于算筹操作的物理约束。算筹是实体的小棍子，你一次只能移动有限的数量。如果直接把 6400 + 80 + 640 + 1 全部写出来，中间没有暂存的空间。所以孙子规定了一个程序：每一步只算一个"部分积"，写在中位，最后再统一汇总。

这个思路和我们今天学竖式乘法时先算各个"部分积"再相加，是完全一致的。只不过在纸上计算时，我们习惯从左到右写，而孙子是在算筹板上从右到左摆放——操作方向相反，但数学本质相同。

5. 与欧洲竖式乘法的历史对比

欧洲的竖式乘法大约在公元12世纪才由斐波那契（Leonardo Fibonacci）从阿拉伯世界引入。而孙子的筹算乘法——至少就我们今天看到的最早文本——已经系统地描述了两步以上整数乘法的完整算法。

当然，"最早"不等于"最好"。阿拉伯数字（包括0的占位符）在书写和运算效率上有天然优势，它让乘法可以一次性写到纸上，而不需要像算筹那样一步步摆放。但算筹的优势在于可以实时检查和纠错——每一根棍子的位置都清清楚楚，一步算错了可以立刻发现并纠正。

这两种方法各有千秋：算筹更像"操作型"计算，竖式更像"记录型"计算。

高中课本关联

① 完全平方公式（必修第一册）

$81^2 = (80 + 1)^2 = 80^2 + 2 \times 80 \times 1 + 1^2 = 6400 + 160 + 1 = 6561$。

这是初中就学过的公式，但很少有人想过：古人没有代数符号，他们是怎么把 $(a+b)^2$ 展开的？孙子用文字一步步描述了这个过程——这正是数学史上"代数化"之前的典型做法：用语言描述代数结构，而不是用符号表达。

学生如果能亲手用算筹（或者用小棒代替）模拟一遍这个过程，会对完全平方公式有更深的体会。

② 乘法分配律（必修第一册）

$81 \times 81 = 81 \times (80 + 1) = 81 \times 80 + 81 \times 1$。

孙子的算法本质上就是乘法分配律的多次应用。可以让学生思考：如果换成 $123 \times 45$，孙子的"重置其位"该怎么操作？让学生用自己的话描述算法，而不是直接背"竖式"，能更好地理解运算的本质。

③ 位值制与进制（选择性必修第三册 / 数学文化选修）

算筹的位置编码本质上是一种位值制。可以借此引入"为什么我们需要位值制"这个问题——如果没有位值制，同样的数字"8"没有位置信息，我们就无法区分 8、80、800。古希腊人就因为没有位值制，不得不发明一套复杂的记数系统。

位值制是数学史上最伟大的发明之一，它的功劳不亚于勾股定理。

教学启示

讲乘法竖式的时候，很多老师直接告诉学生"从个位开始乘，满几十进几"。但如果先展示一下孙子是怎么算的——用语言描述每一步操作——学生会发现：原来竖式的每一步都不是凭空来的，它们都有清晰的来源。

这种"溯源式"讲法有几个好处：

• 学生不再把竖式当成死记硬背的规则，而是理解成一种操作程序；
• 学生感受到"数学一直在进化"——今天的规则是古人一步步试出来的；
• 数学不再是冷冰冰的公式，而是一种"人类思考世界的工具"。

思考与拓展

1. 动手试试：用牙签或小棒在桌面上模拟筹算过程，算一算 $37 \times 37$ 或 $93 \times 93$。看看你能不能按照孙子的步骤，一步一步正确地摆放和移动"算筹"。

2. 拓展思考：孙子给出的算法适用于任意两位数的乘法。你能把这个算法推广到三位数乘法吗？比如计算 $123 \times 123$，需要几步？每一步分别算什么？

3. 历史探究：中国的九九乘法表和西方的九九乘法表有什么关系？为什么西方要到12世纪才通过阿拉伯人学到"印度-阿拉伯数字"和竖式乘法？这背后有什么文化交流的故事？

一句话总结

孙子算经的筹算乘法，用纯文字描述了一套完整的竖式运算程序——两千年前，中国人就已经在用"位值制"和"分配律"进行系统化的多位数乘法计算了。