第3讲 大数之法——从亿到载，万进制的极限

原典

凡大数之法：万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京，万万京曰陔，万万陔曰秭，万万秭曰穰，万万穰曰沟，万万沟曰涧，万万涧曰正，万万正曰载。

——《孙子算经·卷上》

白话翻译

大数的命名规则是这样的：一万个一万叫"一亿"，一万个一亿叫"一兆"，一万个一兆叫"一京"，一万个一京叫"一陔"，一万个一陔叫"一秭"，一万个一秭叫"一穰"，一万个一穰叫"一沟"，一万个一沟叫"一涧"，一万个一涧叫"一正"，一万个一正叫"一载"。

也就是说，从"万"到"载"，一共十二个数量级，每级之间都是 一万倍 的进制，而不是我们熟悉的"一千倍"（千进制）或"一亿倍"（亿进制）。这在数学史上是一个非常重要的进制选择，我们后面会详细分析。

示意图

数学解读

1. 为什么是"万"，不是"十"也不是"千"？

孙子算经的度量衡用的是十进制（忽→秒→毫→厘→分→寸→尺→丈→引，全×10）。但到了大数命名，突然跳到了×10000（万倍）。为什么？

道理其实很简单：日常用十进已经够用，但描述天文数字，十进制就太啰嗦了。

举个例子，如果十进制命名，从"一"到"亿"需要八级（个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿），而孙子只用二级（万→亿）。一个叫"六千万"，在孙子体系里就叫"六千万"——其实是一样的，但到了更大的数，差异就出来了：

$$\begin{aligned} \text{十进制：}\quad &1 \times 10^{40} \text{ —— 要读"一万亿亿亿亿亿"}\\ \text{孙子万进制：}\quad &\text{一载 —— 两个字搞定} \end{aligned}$$

万进制是在"简洁"和"精细"之间的一个平衡点。十进制太细碎，千进制还差一点，万进制正好——一个数量级覆盖四个十进级，既有足够的精度，又不至于名称太长。

2. 万进制是如何工作的？

万进制本质上是 $\times 10^4$ 进制。用指数表示：

$$\begin{aligned} 1 \text{万} &= 10^4 \\ 1 \text{亿} &= 10^4 \times 10^4 = 10^8 \\ 1 \text{兆} &= 10^8 \times 10^4 = 10^{12} \\ 1 \text{京} &= 10^{12} \times 10^4 = 10^{16} \\ &\ \vdots \\ 1 \text{载} &= 10^{4 \times 12} = 10^{48} \end{aligned}$$

所以"一载" = $10^{48}$，也就是1后面跟48个零。这个数字大到什么程度？地球上的原子总数大约是 $10^{50}$ 的量级——也就是说，孙子算经定义的"载"，已经接近整个地球的原子数目了。在公元400年左右，古人的想象力就已经触及了这个尺度，令人惊叹。

3. 中数、上数、下数——大数命名法的三个流派

孙子算经这套大数系统不是唯一的。南北朝时期的《数术记遗》（甄鸾注）记载了三种大数命名法：

• 下数：十变之（十倍进制），十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京……推到极是 $10^{11}$。这种命名法"亿"只等于 $10^5$，跟今天日常说的"亿"（$10^8$）不一样，容易混淆，后来被淘汰了。

• 中数：万万变之（万倍进制），就是孙子算经的这套——万万曰亿（$10^8$），万万亿曰兆（$10^{12}$）……一直推到载（$10^{48}$）。这是中国古代最主流的体系。

• 上数：穷则变（每乘一次就变名），亿亿曰兆，兆兆曰京……推到极是 $2^{2^{12}}$。这个体系增长太快，实用性差，主要在哲学讨论中出现。

今天国际通用的"千进制"（千→百万→十亿→兆→千兆……）本质上跟孙子"万进制"的思路一样——选择一个合适的倍率，让大数名称既简洁又不至于跳太大。只不过西方选了 $10^3$，中国选了 $10^4$。

4. 粟米换算中的大数应用

孙子算经在卷上的末尾，用大数系统做了一个具体的计算：

十斛得六千万粟。百斛六亿粟，千斛六兆粟，万斛六京粟，十万斛六秭粟……

这里是把"一斛"（十斗）的粟米粒数（六千万粒）逐级放大，用刚学的大数命名来表述。注意看，换算的中间有一个"十斛"（六千万粟），然后直接跳到"百斛六亿粟"——六千万 × 10 = 六亿，$\text{亿} = 10^8$，正好对应。

这个例子说明，孙子并不是在纯理论地讨论大数，而是把大数命名法直接用到实际计算中。一斛六千万粟，百斛六亿粟，千斛六兆粟——用大数名称把庞大的数字压缩成简洁的表达，这正是数学语言的力量。

5. 核心规律：每级乘 $10^4$

把整个体系写成一张表：

名称	指数	数值
万	$10^4$	10,000
亿	$10^8$	100,000,000
兆	$10^{12}$	1,000,000,000,000
京	$10^{16}$	10,000,000,000,000,000
陔	$10^{20}$	$10^{20}$
秭	$10^{24}$	$10^{24}$
穰	$10^{28}$	$10^{28}$
沟	$10^{32}$	$10^{32}$
涧	$10^{36}$	$10^{36}$
正	$10^{40}$	$10^{40}$
载	$10^{48}$	$10^{48}$

规律很清晰：每级乘 $10^4$，指数加4。从万到载，指数从 4 一路加到 48。

高中课本关联

① 指数与对数（必修第一册）

大数之法的核心就是指数运算。$10^4$ 的连续乘方，本质上就是指数相加：

$$10^4 \times 10^4 = 10^{4+4} = 10^8$$

这跟必修第一册讲"同底数幂相乘，指数相加"完全一致。我建议在讲指数运算时，拿孙子算经的大数命名法当例子——让学生从"一亿到一兆到一京"的命名中，直观感受指数爆炸的威力，比单纯在黑板上列 $10^4 \times 10^4 = 10^8$ 有意思得多。

② 科学记数法（必修第一册）

一载 = $10^{48}$，这就是科学记数法。我们可以让学生算算：

• 一载等于多少亿？$10^{48} \div 10^8 = 10^{40}$ 亿
• 一载是 $10^{40}$ 个亿，而这个"亿"本身已经是 $10^8$ 了

这正好帮学生理解科学记数法为什么选择"10的幂次"作为表达方式——因为命名法本质上是把指数运算"藏"在文字里，科学记数法则是直接写出来。两者用的是同一个数学结构。

③ 等比数列（选择性必修第二册）

大数之法的名称序列（万、亿、兆、京、陔、秭……）是一个等比数列：

$$a_1 = 10^4,\quad q = 10^4$$ $$a_n = 10^4 \times (10^4)^{n-1} = 10^{4n}$$

从"万"到"载"一共12项，末项是 $a_{12} = 10^{48}$。这个数列的通项公式非常简洁，可以用作等比数列的课堂引入——贴近生活（虽然"大数"不是日常，但"一兆""一亿"这些词学生都听过），又能展示数学建模的过程。

思考与拓展

1. 算一算：如果采用"上数"（亿亿曰兆），一兆等于多少？跟孙子算经的"一兆"（$10^{12}$）相比，相差了多少倍？用指数形式表示。

2. 想一想：今天国际通用的数字单位是"千、百万、十亿、兆、千兆……"（K、M、B、T），每级乘1000。如果让你设计一个适用于21世纪的大数命名法，你会选什么进制？为什么？考虑一下互联网数据（TB、PB、EB）的命名跟传统大数命名的关系。

3. 查一查：日本的"兆"（ちょう）和中文的"兆"分别代表 $10^{12}$ 还是 $10^{16}$？为什么同样一个汉字，在东亚不同国家代表不同的数值？这背后有什么历史原因？

一句话总结

孙子算经的"万进制"大数命名法，是人类最早的系统化大数体系之一——从万到载，十二个名称覆盖了 $10^4$ 到 $10^{48}$ 的46个数量级，用最简洁的语言表达了指数增长的思想，直到今天仍然影响着东亚各国的数字命名习惯。