第1讲 算筹记数——古人用小棍子怎么表示数字

原典

凡算之法，先识其位，一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。

——《孙子算经·卷上》

白话翻译

凡是计算的方法，首先要认识数位。个位用纵式，十位用横式，百位立（纵）着放，千位躺（横）着放；千位和十位都是横式、万位和百位都是纵式，它们两两相望、格式对应。

这短短十六个字，是中国古代算筹记数法的总纲。

示意图

数学解读

1. 什么是算筹？

算筹就是一把小棍子——竹子做的叫"筹"，木头做的叫"策"，还有用骨头、象牙、金属做的。长短粗细差不多，一般长约14厘米，直径约0.2厘米。

别小看这堆小棍子，中国古代所有的数学计算，从加减乘除到开方、解方程，全靠它们完成。祖冲之算圆周率精确到小数点后七位，用的就是算筹。

2. 纵式和横式：为什么要有两套？

1到5很简单——几根筹就代表几。但问题来了：如果12只摆成"| ||"，你知道是12还是3？两个数挨在一起就分不清了。

古人的解决方案非常聪明：相邻数位用不同的摆法，一个纵着、一个横着，交替使用。

• 个位：纵式（竖着摆）
• 十位：横式（横着摆）
• 百位：纵式
• 千位：横式
• 万位：纵式
• ……以此类推

这样，就算两个数字紧贴在一起，你一看一纵一横，就知道它们属于不同的数位，绝不会搞混。

3. 6到9怎么摆？

你可能注意到了，如果1到5是一根一根累加，那5就是5根竖棍。那6呢？摆6根？那7、8、9呢？太占地方了。

古人的办法跟罗马数字类似——用一根横放的代表5（像算盘的上珠）：

• 6 = 上面一横 + 下面一纵 （T 字形）
• 7 = 上面一横 + 下面二纵
• 8 = 上面一横 + 下面三纵
• 9 = 上面一横 + 下面四纵

横式反过来：6用一纵在上，其余横摆在下。

这样一来，再大的数字，每位最多只用5根筹（1上+4下），干净利落。

4. 零怎么办？

这是最妙的地方——零不用摆，空着就行。

比如105，就摆成"纵 空 纵纵纵"，中间那个位置空出来，大家就知道那一位是0。

这本质上就是位值制（place value system）——数字的值不仅看有几根筹，还要看它在什么位置上。同样一根筹，摆在个位就是1，摆在百位就是100。

这个想法现在看起来天经地义，但在人类历史上是个了不起的发明。古巴比伦、古埃及、古罗马都没有发展出完整的位值制，中国的算筹记数法是全世界最早的十进制位值制之一。

高中课本关联

① 进位制思想（必修第一册·指数与对数）

算筹记数的本质就是十进制位值制。每个位置代表不同的数量级（个、十、百、千……），跟我们今天学的

完全同构。古人没有指数符号，但他们用"纵横交替"的物理布局，把位值制落到了实处。

② 二进制与信息编码（信息技术 & 数论入门）

纵横两种状态交替使用，跟二进制的思想遥相呼应——用两种状态的组合来表示更多信息。

一纵一横区分相邻数位，本质上是一种校验机制：用形状差异防止数字错位。这跟现代计算机里用奇偶校验、用不同频率区分信道，思路如出一辙。

③ 数论与中国剩余定理的伏笔

孙子算经最著名的贡献是"物不知数"问题（卷下第26题），也就是中国剩余定理。而要理解中国剩余定理，首先要理解"不同模数下的位值"——每个模数构成一个"数位"，这跟算筹的位值制思想一脉相承。

思考与拓展

1. 想一想：如果算筹用三进制（纵、横、斜）来区分相邻数位，会不会更高效？为什么古人最终选择了两种形态？

2. 算一算：用算筹摆出数字 706、3141、9876，分别应该是什么样子？画出来试试。

3. 比一比：罗马数字（I, V, X, L, C, D, M）和算筹记数法，哪一个更适合做加减乘除？为什么？

4. 查一查：你知道算盘的上珠一颗代表5、下珠一颗代表1，这个设计跟算筹的6-9表示法有什么关系吗？

一句话总结

算筹不是简单的"数数工具"，而是一套完整的十进制位值制系统——用纵横交替解决了错位问题，用空位解决了零的问题，用一横当五解决了大数的空间问题。 这套系统支撑了中国数学两千年，是我们理解古代算法的基础。