约分术二：更相减损——91和49的较量

原文

又有九十一分之四十九。问约之得几何？

答曰：十三分之七。

约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。

白话翻译

现在又有分数 $\frac{49}{91}$，问约分后是多少？

答案：$\frac{7}{13}$。

用的还是同样的方法：先看分子分母能不能同时除以 2——49 是奇数，91 也是奇数，不行。所以进入更相减损流程：把 91 和 49 分别放在两边，用大的减去小的，反复减，直到两个数相等。这个相等的数就是"等数"（最大公约数），用它来约分。

示意图

数学解读

1. 这道题和上一道有什么不同？

上一题是 $\frac{12}{18}$，一眼就能看出公因数是 6。这一题是 $\frac{49}{91}$，49 和 91 之间的公因数就没那么明显了。

49 是 $7^2$，91 呢？91 看起来不太像一个"整"数——它既不是 7 的倍数（7 × 13 = 91……等等，它确实是 7 的倍数！），但一般人在没算出来之前，不会第一时间想到 91 和 7 有关系。

这就是更相减损术的意义所在——当你一眼看不出公因数的时候，算法可以帮你找出来。 它不需要你"看出来"，只需要你"一步步做"。

2. 手动走一遍这个算法

49 和 91，都是奇数，不能"半之"。开始更相减损：

所以等数是 7，于是：

验证一下：$7 \times 13 = 91$，$\frac{7}{13}$ 已经是最简分数了。

3. 7 步减法，效率问题浮现了

上面这个过程中，42 - 7 这一步做完之后，其实后面连续做了 5 次"42 - 7"的变体——实际上是在反复减 7。

如果换成欧几里得算法（辗转相除法）：

只用 3 步除法，就得到了结果。

为什么会有这个差距？因为更相减损术每次只减一次，而欧几里得算法一次把能减的都减完——$91 \div 49 = 1 \cdots 42$，相当于 91 - 49 = 42 做一次，然后 $49 \div 42 = 1 \cdots 7$，相当于 49 - 42 = 7 做一次，然后 $42 \div 7 = 6$，相当于 42 - 7 - 7 - 7 - 7 - 7 - 7 = 0 做 6 次，但除法一步就得到了 0。

所以从效率上说，欧几里得算法是更相减损术的"加速版"。但古人生活在两千年前，面对的是"步"、"亩"这种级别的数字，加减法已经够用了，压根不需要考虑效率问题。

4. 为什么 91 是 7 的倍数？

这个问题看似简单，但有个数学上的观察：91 和 49 的差是 42，42 是 7 的倍数；而 49 本身也是 7 的倍数。如果两个数都是某个数的倍数，它们的差也一定是这个数的倍数。 反过来，如果两个数的差是某个数的倍数，且其中一个数也是这个数的倍数，那另一个也一定是。

这个观察就是更相减损术成立的理论基础——公因数在减法运算下保持不变：

一步减法，不改变最大公约数。反复减下去，最终两个数相等，那个相等的数就是它们的最大公约数。

这个性质太美了。每一步减法都没有"损失"信息，每一步都在缩小范围，但每一步都在保护那个"共同的根"。

5. 从"术"到"算法思维"

这道题真正让我感慨的，是《九章算术》里展现的算法思维。

什么叫算法思维？就是：不管你有没有数学直觉，只要按照步骤操作，就一定能得到正确答案。

• 你看不出 49 和 91 的公因数？没关系，按步骤来。
• 你不知道什么时候该停？按步骤来，两个数相等就停。
• 你担心算错？每一步都是简单的减法，几乎不可能出错。

这就是"术"的魅力——它是可复制的、机械的、确定性的。任何一个人，只要识数、会减法，就能把这道题算出来。

中国古代数学的"术"，本质上就是今天的算法。而算法思维，是计算机科学的核心。两千年前写在竹简上的算法，今天用 Python 写出来，逻辑一模一样。

高中课本关联

算法与程序框图（必修三）

高中必修三的"算法初步"一章，开篇就讲辗转相除法（欧几里得算法）和更相减损术。教材通常会给出两种算法的程序框图：

更相减损术（流程图）：
  输入 a, b
  当 a ≠ b:
    如果 a > b: a = a - b
    否则: b = b - a
  输出 a（即为等数）

这个流程图的每一步，都可以对应到《九章算术》里"副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也"这段话。两千年前的古文，翻译成现代程序语言，一字不差。

数论基础

最大公约数（GCD）是数论中最基础的概念。虽然高考不直接考数论，但近年的数学竞赛和强基计划中，数论题的比例在增加。而更相减损术这个概念，是最容易入手的数论入门题——它不依赖任何高级知识，只靠加减法。

数学文化题

近几年的高考数学卷中，"数学文化"类题目越来越多。《九章算术》是高频考点，约分术、更相减损术都出现过。如果学生提前读过原典，做这类题简直是"送分"——因为原文已经看过，不需要现场理解古文。

思考与拓展

1. 用更相减损法求 91 和 49 的最大公约数，你能用更少的步数完成吗？（提示：先做"可半者半之"——但 91 和 49 都不是偶数，这条路走不通）
2. 试比较更相减损术和欧几里得算法，分别用两种方法求 $\gcd(1001, 143)$，哪个更快？
3. 如果三个数 49、91、133 一起求最大公约数，更相减损术还能用吗？怎么扩展？

一句话总结

91 和 49 看似没有关系，但"更相减损"七步之后，它们的"等数"7 浮出水面——不是因为你"看出来"了，而是因为算法本身替你找到了它。