约分术：更相减损——老祖宗的辗转相除法

原文

今有十八分之十二。问约之得几何？

答曰：三分之二。

约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。

白话翻译

现在有分数 $\frac{12}{18}$，问约分后是多少？

答案：$\frac{2}{3}$。

计算方法（约分术）：如果分子分母都可以被 2 整除，就先除以 2。如果不行，就把分子和分母分别放在两边，用大的减去小的，反复相减，直到两边相等。这个相等的数就是"等数"（最大公约数）。用这个等数来约分。

示意图

数学解读

1. 这道题到底在说什么？

$\frac{12}{18}$ 约分，太简单了，一个小学生都会。分子分母同时除以 6，得到 $\frac{2}{3}$。

但《九章》的解法不是"找最大公约数"，而是一步一步减：

然后 $\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$。

今人看到这一步可能会觉得"多此一举"，但这里面藏着中国古代数学的一个核心思想——用操作代替定义。

2. 更相减损术就是欧几里得算法

欧几里得算法（辗转相除法）是这么写的：

用除法：$18 \div 12 = 1 \cdots 6$，$12 \div 6 = 2 \cdots 0$，所以最大公约数是 6。

更相减损术是这么写的：

用减法：18 - 12 = 6，12 - 6 = 6，两数相等，所以等数是 6。

两个方法本质是一样的——欧几里得算法是"用除法一步到位"，更相减损术是"用减法一步步来"。减法的效率当然不如除法，但思想完全一致。实际上，欧几里得在《几何原本》中用的也是减法的形式（第七卷命题2），和《九章算术》的"更相减损"如出一辙。

东西方在同一个时代、用不同的语言，想出了同一个方法。 这本身就是数学史上最迷人的巧合之一。

3. 为什么叫"更相减损"？

"更相"就是互相，"减损"就是减少。你减我、我减你，轮流来，直到相等。

这个翻译非常形象——不是一个人在玩，是两个人互相较劲。

• 第 1 步：大数减小数（18 - 12）
• 第 2 步：结果 6 和 12 再次比较，大数减小数（12 - 6）
• 第 3 步：结果 6 和 6 相等，停止

每一步都让两个数更接近，最终相等。

4. "可半者半之"——先除 2 加速

约分术的第一句话是"可半者半之"——如果分子分母都是偶数，就先除以 2。

这个优化很聪明。因为 2 是最常见的公因数，先处理掉，后面的减法次数就少了。比如 12 和 18，先都除以 2 得到 6 和 9，然后 9 - 6 = 3，6 - 3 = 3，等数 3，再乘以刚才除掉的 2，得到 6。

古人的算法不是"最优"的，但它是实用的、可操作的。几千年的数学，就是在这种"够用就行"和"精益求精"之间反复博弈的过程。

5. 从"约分"到"分数基本性质"

分数约分的本质，是分数的基本性质：

分子分母同时除以同一个非零数，分数值不变。

这个性质在《九章算术》里没有明确写出来——古人不说"性质"，只说"术"（怎么做）。但两千年的数学教育告诉我们，知道"为什么不能约分"比"会约分"更重要。

高中课本关联

数论入门

最大公约数（GCD）是数论的基础概念。虽然高中数学不专门讲数论，但多项式的最大公因式、整式的约分，思维逻辑和这里一模一样。

和 $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ 完全是同一套思路——找公因式，再约掉。

编程中的欧几里得算法

如果学生学了编程，第一个算法题往往就是"求两个数的最大公约数"——老师会教递归写法：

这个递归的每一步，都在重复《九章算术》里"更相减损"的逻辑。两千年前写在竹简上的算法，今天写在每一本计算机教材里。

数学归纳法的萌芽

"更相减损"的过程，其实是一个归纳过程：

• 如果 $a = b$，等数就是 $a$
• 如果 $a > b$，问题转化为求 $a - b$ 和 $b$ 的最大公约数
• 每次转化都让数字变小，有限步终止

这不是数学归纳法本身，但它已经隐含了"递归"和"有限步终止"的思想。高三学生学数学归纳法的时候，知道更相减损术这个例子，会更容易理解"为什么归纳法有效"。

思考与拓展

1. 用更相减损法求 91 和 49 的最大公约数（试试看，和第 15 题答案对不对得上）
2. 更相减损法和辗转相除法，哪个效率更高？如果数字很大（比如 100000 和 1），用减法要减多少步？
3. 三数求公约数："可半者半之"的逻辑能不能推广到三个数？比如 12、18、24 的最大公约数？

一句话总结

约分术不是"约分"本身，而是"找最大公约数"的方法——更相减损，用减法代替除法，两千年前的古人和今天的计算机用着同一个算法。