九章算术 · 第 13 讲 · 2026-08-30 · 约 6 分钟

里田术二：当田大到用"里"来量

方田章第十三题——上一讲我们算了一块1里×1里的正方形田，这次来了个2里×3里的长方形。单纯乘一下算面积当然不难，但有意思的是：古人在这个"更大"的例子里，把里田术的核心逻辑完整展现了一遍。

原文

又有田广二里，从三里。问为田几何？

答曰：二十二顷五十亩。

里田术曰：广从里数相乘得积里。以亩法二百四十除之，即亩数。以三百七十五乘之，即顷数。

又有一块田，宽二里，长三里。问这块田的面积有多大？

答案：二十二顷五十亩。

计算方法（里田术）：将宽的里数乘以长的里数，得到"积里"（即平方里）。用亩法——每亩240平方步——来换算，就得到亩数。再乘以375，就得到顷数。

具体算一下：2里 × 3里 = 6平方里。1平方里 = 300 × 300 = 90000平方步，所以6平方里 = 540000平方步。540000 ÷ 240 = 2250亩。2250亩 ÷ 100 = 22顷50亩。和答案一致。

里田术二示意图

2里 × 3里 = 6平方里 = 540000平方步 = 2250亩 = 22顷50亩。图中展示了平方里和平方步的换算关系。

上一讲（里田术一）的题目是"广一里，从一里"，是一个正方形。这一题"广二里，从三里"，是一个长方形。

表面上看，区别只是从正方形变成了长方形，数字大了。但背后有一个关键的数学推进：里田术从"特例"走向了"一般"。

上一题只有一个数据点——1平方里 = 375亩。这个结论对不对？如果正方形能成立，那长方形呢？2里×3里是不是也能用同样的方法？答案是肯定的。里田术不挑形状，只要是长方形，不管长宽是整数还是分数，都适用。 这就是"术"的力量——它不依赖于具体数值，而是给出一个通用的操作流程。

上一讲我们讨论过，术文里说"以亩法二百四十除之，即亩数。以三百七十五乘之，即顷数。"

这里有个容易混淆的地方。我们重新梳理一下逻辑链：

\begin{aligned} \text{面积（平方步）} &= 2 \times 3 \times 300 \times 300 = 540000 \\[4pt] \text{亩数} &= 540000 \div 240 = 2250 \\[4pt] \text{顷数} &= 2250 \div 100 = 22.5 \end{aligned}

22.5顷 = 22顷50亩。和答案一致。

但术文说的是"以三百七十五乘之，即顷数"——把平方里数乘以375就是顷数？6 × 375 = 2250，这是亩数，不是顷数。

我理解更合理的解释是："以三百七十五乘之"指的是把平方里数变成亩数（因为1平方里 = 375亩），然后你再除以100得到顷数。术文里"即顷数"这几个字可能是个简略的说法——得到亩数之后，再化成顷数，这是当时人一看就懂的常识，不需要再写一步。

这道题展示了一个非常漂亮的单位换算链：

\text{里} \times \text{里} \xrightarrow{\times 300^2} \text{平方步} \xrightarrow{\div 240} \text{亩} \xrightarrow{\div 100} \text{顷}

每一步的换算系数，都有它自己的历史背景：

你看，每一个数字都对应着一个历史时期、一项制度变革。数学不是凭空产生的，它是在土地丈量、税收管理、国家治理的实践中长出来的。如果你在课堂上讲这道题的时候，能顺带提一句"240步一亩是商鞅定的"，学生可能会觉得：哦，原来数学知识也有它的"历史课"。

前面12道题，所有的长度单位都是"步"，面积单位是"积步"和"亩"。到了里田术，突然出现了"里"。

这个变化不仅仅是单位的扩大，更是一种思维尺度的跃迁。步是"人一步的长度"，适合丈量小块的田。里是"行军一里的距离"，适合丈量大片的土地。当你要丈量的土地大到用步来算已经太麻烦时，你就需要一个更大的单位。

这个逻辑，和今天我们用"平方米"算房间面积、用"平方公里"算城市面积、用"平方千米"算国土面积，是完全一样的。数学工具的选择，本质上取决于你面对的问题的尺度。

这道题里，2里 × 3里 = 6平方里，但换算成平方步是 6 × 90000 = 540000。90000 = 300²。

这个"平方"的直觉，是理解幂运算最好的起点之一。学生一开始觉得 $a^2$ 很抽象，但如果你说"a²就是a×a，就像1平方里 = 300步 × 300步"，他们立刻就懂了。

里田术的换算过程可以看作一个函数：输入平方里数，输出亩数。这个函数是线性的—— $f(x) = 375x$ 。但平方步到平方里的换算（300²）是非线性的。

线性与非线性并存，这是一个很好的教学案例。学生容易把"乘以一个常数"和"取平方"混为一谈，里田术正好把这两种运算放在同一个问题里，让学生直观感受它们的区别。

这道题给了一个自然的量纲分析场景：长度单位（里）× 长度单位（里）= 面积单位（平方里），然后通过常数换算成另一个面积单位（亩）。

高中物理里，学生最头疼的就是量纲。如果能在数学课上先通过"里田术"建立量纲意识，到了物理课上学单位换算就会轻松很多。

里田术二把"平方里→亩"的换算从正方形推广到了任意长方形，揭示了面积单位换算的本质——无论形状如何，核心都是"长度×长度"，再乘以固定的换算系数。

— Y. · 2026-08-30