里田术：从平方步到平方里——古代单位换算的智慧

原文

今有田广一里，从一里。问为田几何？

答曰：三顷七十五亩。

里田术曰：广从里数相乘得积里。以亩法二百四十除之，即亩数。以三百七十五乘之，即顷数。

白话翻译

现在有一块正方形的地，宽一里，长一里。问这块地面积有多大？

答案：三顷七十五亩。

计算方法（里田术）：宽的里数和长的里数相乘，得到"积里"（平方里）。用每亩 240 平方步来换算，得到亩数。再乘以 375（即 1 平方里 ÷ 240 = 3750 亩 ÷ 10 = 375 亩？注意这里其实是直接换算：1 平方里 = 375 亩），就得到顷数。

这里有个关键：1 里 = 300 步，所以 1 平方里 = 300 × 300 = 90000 平方步。90000 ÷ 240 = 375 亩。375 亩 = 3 顷 75 亩（因为 1 顷 = 100 亩）。

数学解读

1. 里、步、亩、顷——古代单位系统的全貌

这道题把一个全新的单位维度引入了方田章——里。

前面 11 道题，所有的长度单位都是"步"，面积单位是"积步"和"亩"。到了这道题，突然出现了"里"。

为什么？因为前面算的都是小块田，用步正好。但如果一块地大到用"里"来衡量，那用步来算就太麻烦了——300 步 × 300 步，数字太大。所以古人用"里 × 里"先算平方里，再换算成亩。

这个单位系统是这样的：

你看，不同的单位对应不同的场景：步测小田，里量大田。这和今天我们用平方米算小面积、用平方公里算大面积是一个道理。

2. 375 这个数字的来历

术文里说"以三百七十五乘之，即顷数"。为什么是 375？

因为 1 平方里 = 90000 平方步，90000 ÷ 240 = 375 亩。375 亩 ÷ 100 亩/顷 = 3.75 顷，也就是 3 顷 75 亩。

但术文说的是"以三百七十五乘之，即顷数"——直接把平方里数乘以 375 就是亩数，不是顷数。这里需要仔细看原文的逻辑：

• 先"以亩法二百四十除之，即亩数"——把平方步换算成亩
• 再"以三百七十五乘之，即顷数"——这里可能需要重新理解

实际上，更合理的解释是："以三百七十五乘之"指的是把平方里数直接变成亩数。因为 1 平方里 = 375 亩，所以平方里数 × 375 = 亩数。然后亩数 ÷ 100 = 顷数。

这道题的数据刚好是 1 × 1 = 1 平方里，375 亩，合 3 顷 75 亩。

3. 单位换算中的"平方关系"

这道题最核心的数学思想，其实是单位换算中的平方关系。

1 里 = 300 步，但 1 平方里 ≠ 300 平方步，而是 90000 平方步。

这个道理太简单了，初中生都知道。但两千年前的古人，从实际问题中悟出这个道理，并且把它写成了可操作的"术"——"广从里数相乘得积里"——这说明他们理解了两个长度相乘得到面积的二维本质。

"里田术"本质上就是"方田术"在更大尺度上的推广。 方田术用步，里田术用里，但核心公式一模一样：长 × 宽 = 面积。

4. 为什么不直接用"平方"这个词？

也许你会问：古人为什么不直接说"平方里"？"平方"这个词多方便啊。

答案很朴素："平方"这个词是后来才有的。在《九章算术》的时代，人们用"积"字来表达"乘出来的结果"——"积步"就是步行来的结果，"积里"就是里乘里的结果。

"积"字用得很妙。积者，累积也。两个长度相乘，就是把一个方向上的长度在另一个方向上累积起来。这个"积"比"平方"更接近面积概念的原始直觉——不是"一个数的平方"这种抽象运算，而是"两个长度叠加"的直观操作。

就像我们今天教小学生面积，还是会说"这个长方形能摆多少个 1 平方厘米的小方块"——这也是"积"的思路。

高中课本关联

必修一·指数与对数

单位换算中的平方关系，是理解幂运算的绝佳入口。1 里 = 300 步，1 平方里 = 300² 步。这个模式在更高维度上继续：1 立方里 = 300³ 立方步。

指数运算的直觉基础，就藏在面积和体积的单位换算里。 学生总觉得 $a^2$ 和 $a^3$ 很抽象，但换成"平方步到平方里"立刻就懂了。

物理·单位换算

物理课上，学生最头疼的就是单位换算——千米到米、平方米到平方千米、立方米到立方厘米。每次都要"数零"。

里田术告诉我们：单位换算不是数学难题，是真实世界的需要。 古人也要面对"步太大了，用里；田太大了，用顷"的问题。把这个问题放在历史语境里，学生就不会觉得"单位换算好烦"了。

数学建模·比例思想

里田术本质上是一个比例模型：已知面积（平方里），乘以固定比例系数（375），得到亩数。这种"输入 → 乘系数 → 输出"的模型，在高中数学里无处不在——从三角函数到线性回归，从解析几何到数列。

思考与拓展

1. 1 平方里 = 375 亩，那 1 平方里等于多少平方步？你能用三种不同的方法算出来吗？——注意，这不只是"算一下"的问题，而是理解"平方"这个运算的本质。

2. 假设你有两块地，一块是 2 里 × 3 里，另一块是 600 步 × 900 步。哪块更大？——小心，单位不一样！这个问题让你体会"统一单位"的重要性。

3. 为什么古人选 240 平方步 = 1 亩，而不是 100 平方步？你查一下井田制和商鞅变法，看看这个数字背后有什么历史背景。数学从来不是纯数学问题。

一句话总结

里田术把"方田术"的思想从"步"推广到了"里"，本质上是在不同尺度上应用同一个面积公式，而单位换算中的平方关系，正是数学中"维度"概念的原始直觉。