环田术二：带分数的圆环面积

原文

又有环田，中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之一，径十二步三分步之二。问为田几何？

答曰：四亩一百五十六步四分步之一。

术曰：并中外周而半之，以径乘之为积步。

白话翻译

又有一块圆环形的田，内圈周长 $62\frac{3}{4}$ 步，外圈周长 $113\frac{1}{2}$ 步，环宽 $12\frac{2}{3}$ 步。问这块田的面积是多少？

答案：4 亩 $156\frac{1}{4}$ 平方步。

计算方法（环田术）：把内圈周长和外圈周长加起来，取一半，再乘以环宽，就得到面积。

示意图

数学解读

1. 这道题和上一题有什么区别？

上一题（第十题）的环田数据很整齐——中周 92 步，外周 122 步，径 5 步，全是整数。这道题的数据全是带分数：

• 中周：$62\frac{3}{4}$ 步
• 外周：$113\frac{1}{2}$ 步
• 径：$12\frac{2}{3}$ 步

不要小看这个变化。在《九章算术》的编排逻辑里，先给整数，再给分数，逐步加大难度——这是典型的螺旋式教学设计。第一章方田的 38 道题，从最简单的整数长方形面积开始，到三角形、梯形、圆、圆环，再到分数情形的各种变体，难度层层递进。

这一题就是环田的"分数版"——公式不变，但计算量翻倍了。

2. 套用环田术计算

公式不变：

先把带分数化成假分数：

计算：

换算成亩（1 亩 = 240 平方步）：

和答案完全一致。

3. 分数运算——古人是怎么算的？

今天我们算 $\frac{227}{2} + \frac{251}{4}$，第一步就是通分——找 2 和 4 的最小公倍数。古人用的方法完全一样，只是他们不叫"通分"，叫"齐同"。

《九章算术》的"合分术"（分数加法）里有一段话：

母互乘子，并以为实，母相乘为法。

翻译过来就是：分母互相乘以对方的分子，加起来作为分子，分母相乘作为分母。这其实就是通分后相加，和今天的方法一模一样。

$\frac{227}{2} + \frac{251}{4}$ 的"齐同"做法：

• 用第一个分数的分母 2 乘以第二个分数的分子 251，得 502
• 用第二个分数的分母 4 乘以第一个分数的分子 227，得 908
• 分子相加：$502 + 908 = 1410$
• 分母相乘：$2 \times 4 = 8$
• 结果：$\frac{1410}{8} = \frac{705}{4}$

和我们今天先通分再相加的结果完全一样。

两千年前，古人就已经掌握了完整的分数四则运算体系。 欧洲到 16 世纪才普遍掌握分数运算，比《九章算术》晚了将近 1700 年。

4. 环田术的局限性——当环宽"太大"的时候

这道题的数据还有一个值得注意的地方：环宽 $12\frac{2}{3}$ 步，相对于内外周长来说并不算小。

如果用"周三径一"去算：

• 外圆直径：$D_{外} = \frac{113.5}{3} \approx 37.83$ 步，半径 $R \approx 18.92$ 步
• 内圆直径：$D_{内} = \frac{62.75}{3} \approx 20.92$ 步，半径 $r \approx 10.46$ 步
• 环宽（按半径差）：$R - r \approx 8.46$ 步

但题目给出的环宽是 $12\frac{2}{3} \approx 12.67$ 步。两者不一致。

这是为什么？因为环田术里的"径"不是严格意义上的"大圆半径减小圆半径"，而是实际测量的环宽——从内圈的外沿到外圈的内沿之间的距离。在实地测量中，人们直接量的是环有多宽，而不是通过半径差来算。

而"周三径一"给出的是圆周率近似下的理论半径差，两者本就不同。环田术不需要知道圆的半径，它直接用量出来的环宽来计算——这恰恰是它的实用主义之处。

刘徽在《九章算术注》里也注意到了这个问题。他指出，环田术的公式 $\frac{C_{外} + C_{中}}{2} \times d$ 在环宽不太大的时候是合理的，但如果环宽过大，内圈和外圈的周长差异太大，把圆环展开成梯形的近似就会失真。

5. 分数运算在环田术中的实际意义

最后，我想聊聊这道题在日常教学中的价值。

很多学生觉得分数运算枯燥——"不就是通分、约分嘛，有什么好练的"。但环田这道题告诉我们：分数运算不是人为编出来的，是现实中的真实需求。

你想想，一块田的周长 62¾ 步，环宽 12⅔ 步——现实中的测量永远不可能那么整齐。古人没有计算器，没有分数转小数的概念，他们必须用分数来算，而且必须算对，因为算错了面积就意味着赋税出错了。

分数运算的每一步，背后都是一块真实田地的实际数据。 这个视角，比单纯做练习题更能让学生理解"为什么要学分数"。

高中课本关联

分数运算的强化训练

高中数学里，分数运算虽然不再是独立的教学章节，但仍然是基本技能。解析几何里的斜率计算、概率统计中的概率值计算、数列里的通项公式——到处都有分数。这道题可以作为一个"分数运算实战"的案例，让学生看到分数运算在实际问题中的应用。

环形面积公式的代数推导

高中代数中，$R^2 - r^2 = (R + r)(R - r)$ 这个因式分解公式，在环田术里有一个几何解释：

让抽象的代数公式有了直观的几何背景，学生更容易记住。

近似与精确的辩证关系

环田术的公式在环宽较小时精确，环宽较大时误差增大——这其实揭示了数学中一个普遍规律：任何近似公式都有适用范围。 这和高中物理里"小角度近似"、"忽略空气阻力"是一个道理——知道什么时候可以用、什么时候不能用，比记住公式本身更重要。

思考与拓展

1. 环田术的公式 $S = \frac{C_{外} + C_{中}}{2} \times d$ 在环宽很大时为什么会失效？你能不能从几何上解释一下？

2. 用"周三径一"时，环田术公式和标准公式 $S = \pi(R^2 - r^2)$ 的结果在什么情况下一致？在什么情况下不同？

3. 这道题里的分数运算：$\frac{227}{2} + \frac{251}{4}$ 和 $\frac{705}{8} \times \frac{38}{3}$，你能用今天的方法和古人的"齐同术"分别算一遍，对比一下差异吗？

一句话总结

环田术的第二个案例，用带分数数据展示了古人在分数运算上的扎实功底——公式不变，但计算量翻倍，体现了《九章算术》"整数→分数→复杂分数"的螺旋式编排逻辑，也让我们看到环田术公式在实际应用中的局限。