环田术：圆环面积的智慧

原文

今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。问为田几何？

答曰：二亩五十五步。

术曰：并中外周而半之，以径乘之为积步。

密率术曰：置中外周步数，径步数，各以径乘之，以密率法除之，相减，余为积步。

白话翻译

现在有一块圆环形的田，内圈周长 92 步，外圈周长 122 步，环宽（径）5 步。问这块田的面积是多少？

答案：2 亩 55 平方步。

计算方法（环田术）：把内圈周长和外圈周长加起来，取一半，再乘以环宽，就得到面积（积步）。

另一种算法（密率法）：用内圈周长和外圈周长分别乘以环宽，再除以密率，然后相减，得到面积。

示意图

数学解读

1. 环田是什么？

"环田"就是圆环形的田——一个大圆中间挖掉一个小圆，剩下的部分。古人把它叫做"环"，今天我们在设计里叫"圆环"，数学上叫"环形"或"圆环形"。

这道题给的数据很简单：

• 外圆周长（外周）：$C_{外} = 122$ 步
• 内圆周长（中周）：$C_{内} = 92$ 步
• 环宽（径）：$d = 5$ 步

什么叫"径"？这里的"径"不是半径，也不是直径，而是外圆和内圆之间的宽度，也就是环宽。今天的术语叫"环宽"。

2. 环田术——把圆环变成梯形

环田术的方法非常巧妙：

代入数据：

然后换算成亩：$535 \div 240 = 2 \text{ 亩余 } 55 \text{ 平方步}$。和答案一致。

这个公式的几何意义很深刻。古人把圆环看成是一个"弯曲的梯形"——如果把圆环沿半径方向剪开，然后拉直，它会变成一个近似梯形：上底是内圈周长，下底是外圈周长，高是环宽。

梯形的面积公式是"上底加下底，乘高除以 2"，这不就是"中外周相加，半之，以径乘之"吗？

《九章算术》的编者们发现了圆环面积和梯形面积之间的这个类比关系。 他们不需要知道圆环面积的"标准公式"——$S = \pi(R^2 - r^2)$——他们只需要借用已经学过的梯形面积公式，就能解决新的问题。

这就是数学中最重要的思想之一：化归——把新问题转化成已经会解决的问题。

3. 标准的圆环面积公式

今天我们算圆环面积，用的是：

其中 $R$ 是外圆半径，$r$ 是内圆半径。

如果用环宽 $d = R - r$ 来表示，这个公式可以写成：

而 $2\pi R = C_{外}$，$2\pi r = C_{内}$，所以：

和古人的公式一模一样！ 只是古人用的是"周三径一"的近似，而今天的公式用的是精确的 $\pi$。

这跟前面圆田术的情况类似——公式的结构是对的，只是常数精度不同。

4. 算一算：用"周三径一"和用精确π，差多少？

如果按照"周三径一"（$C = 3D$），那么：

• 外圆直径 $D_{外} = \frac{122}{3} \approx 40.67$ 步
• 内圆直径 $D_{内} = \frac{92}{3} \approx 30.67$ 步
• 外圆半径 $R \approx 20.33$ 步，内圆半径 $r \approx 15.33$ 步
• 面积 $S = \pi(R^2 - r^2)$，按 $\pi \approx 3$ 算：$S = 3 \times (20.33^2 - 15.33^2) \approx 3 \times (413.3 - 235.1) = 534.6$ 平方步

和古人的 535 平方步几乎一致。但如果用 $\pi = 3.14$：

• 外圆半径 $R = \frac{122}{2\pi} \approx 19.43$ 步
• 内圆半径 $r = \frac{92}{2\pi} \approx 14.65$ 步
• 面积 $S = \pi(R^2 - r^2) \approx 3.14 \times (377.5 - 214.6) \approx 511.5$ 平方步

古人算的结果比实际大约 4.6%。还是那个熟悉的误差——"周三径一"的 4.5% 误差。

5. 密率术——更精确的算法

原题还给出了另一种方法："密率术"。这个"密率"指的是更精确的圆周率。在《九章算术》成书的时候，可能还没有刘徽的 3.1416，但古人已经意识到"周三径一"不够精确，试图用更精确的常数来改进。

密率术的做法是：分别算出外圆和内圆的面积（用更精确的π），然后相减。这个思路和今天的方法完全一样——大圆面积减去小圆面积。

但有趣的是，刘徽在《九章算术注》里对环田术有更深刻的讨论。他注意到：环田术的公式"中外周相加，半之，以径乘之"，实际上是把圆环当成了梯形来处理。刘徽指出，这个处理方式在"径"（环宽）比较小的时候是合理的，但如果环宽很大，圆环的内外周长差别太大，这个近似就不够精确了。

刘徽的批评再次展现了他的数学批判精神——不满足于"知道怎么算"，还要知道"这样算为什么对"和"这样算什么时候不对"。

高中课本关联

圆与圆环的面积

高中课本里，圆环的面积公式 $S = \pi(R^2 - r^2)$ 出现在扇形面积相关的习题中。但很少会讲"环田术"这个历史背景。

其实这是一个很好的因式分解教学案例：$R^2 - r^2 = (R + r)(R - r)$，这个公式在代数课上反复出现，但在几何中的应用往往被忽略了。环田术给出了一个直观的解释——大圆半径加小圆半径，乘以环宽，再乘以π。

等差数列与平均

"中外周相加，半之"——这其实就是取两个数的算术平均数。$\frac{C_{外} + C_{内}}{2}$ 就是内外周长的平均值，然后再乘以环宽。

这个思路和等差数列的求和公式 $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n$ 是一个道理：首项加末项的平均值，乘以项数。古人虽然没有"等差数列"这个名称，但已经在用等差数列的思想来处理问题了。

化归思想

化归是高中数学最重要的思想之一，但教材里很少专门讲这个词。环田术是一个绝佳的化归案例：把圆环问题转化为梯形问题。

讲解析几何的时候，遇到新的几何图形，老师常说"把它转化成我们熟悉的图形"。环田术就是两千年前的化归实践——面对一个没见过的圆环，古人说"斯，这不就是弯了的梯形吗？"

思考与拓展

1. 环田术的公式 $S = \frac{C_{外} + C_{内}}{2} \times d$ 和梯形面积公式有何异同？你能画出"把圆环展开成梯形"的示意图吗？

2. 如果环宽很大（比如外圆周长 200 步，内圆周长 20 步，环宽 20 步），古人的公式和精确公式的误差会变大还是变小？为什么？

3. 环田术的"密率术"说"各以径乘之，以密率法除之，相减"，你能把这个步骤写成现代公式吗？你觉得古人的"密率"可能取什么值？

一句话总结

环田术用"中周加外周，半之，以径乘之"的巧妙公式，把圆环面积问题化归为梯形面积问题，是两千年前"化归思想"的经典范例——公式结构历经两千年不变，变的只是圆周率的精度。