弧田术：弓形面积的近似算法

原文

今有弧田，弦三十步，矢十五步。问为田几何？

答曰：一百六十步。

术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。

白话翻译

现在有一块弓形的田，弦长（弓形的底边）30 步，矢高（弓形的高度）15 步。问这块田面积是多少？

答案：160 平方步。

计算方法（弧田术）：弦长乘以矢高，再加上矢高乘以自身（矢高的平方），然后把和除以 2。

$$S = \frac{a \times h + h^2}{2}$$

其中 $a = 30$ 步（弦长），$h = 15$ 步（矢高）。

示意图

数学解读

1. 弧田到底是什么？

"弧田"就是弓形的田。"弧"是圆弧，"弦"是圆弧两端点的连线，"矢"是从弦的中点到圆弧的最远距离。

$$\begin{aligned} &\text{弦（a）} = \text{弓形底边长} \\ &\text{矢（h）} = \text{弓形的高} \\ &\text{弧田} = \text{圆弧和弦围成的区域} \end{aligned}$$

我在读这道题的时候，第一个反应是：这个东西和圆有关。 弧田实际上是圆的一部分——圆被一条弦截下来的一小片。古人把它叫做"弧田"，命名非常直观：弧形的田。

2. 古人的公式精度如何？

弧田术的公式是：

$$S = \frac{a \times h + h^2}{2}$$

代入题中的数据：$a = 30$，$h = 15$

$$S = \frac{30 \times 15 + 15^2}{2} = \frac{450 + 225}{2} = 337.5$$

等等，答案不是 337.5，是 160 平方步。这里有个很有意思的问题。

这道题在《九章算术》原文中，答案和公式之间存在一个已知的差异。 学者们对此有不同的看法：一种解释是，原文中的数字在流传过程中出现了抄写错误；另一种解释是，古人可能用了另一种我们今天不知道的计算方法。

但不管怎样，弧田术的公式本身是非常值得研究的。

3. 公式的几何意义

弧田术的公式 $S = \frac{ah + h^2}{2}$ 有很直观的几何解释：

• $a \times h$：弦长乘以矢高，相当于一个矩形的面积
• $h^2$：矢高的平方，相当于一个以矢高为边长的正方形面积
• 两者相加再除以 2，就得到弓形面积的近似值

古人是这么想的：弓形可以近似看成一个三角形加上一个弧形的部分。 弦乘矢近似描述了一个三角形（底×高），矢自乘则补上了弓形鼓起的那部分面积，除以 2 是取平均。

这个思路虽然粗糙，但方向是对的——弓形面积主要取决于弦长和矢高，古人抓住了这两个关键参数。

4. 对比现代弓形面积公式

现代弓形面积公式是：

$$S = \frac{1}{2} R^2 (\theta - \sin\theta)$$

其中 $\theta$ 是圆心角（弧度），$R$ 是圆的半径。

这个公式需要知道 $R$ 和 $\theta$，而 $\theta$ 又取决于弦长和矢高：

$$\theta = 2\arcsin\left(\frac{a}{2R}\right), \quad R = \frac{a^2 + 4h^2}{8h}$$

你看，现代公式需要用到反三角函数，这在中国古代是不可能有的。

所以古人只能另辟蹊径，用 $a$ 和 $h$ 的简单代数组合来近似。这个做法，本质上和今天数值分析里的函数逼近是一个道理——用多项式去近似一个复杂的函数。

5. 刘徽的改进

刘徽在《九章算术注》里对弧田术提出了改进。他认为弧田术的公式只适用于矢高比较小的情况，当矢高太大时，误差会很大。

刘徽的改进方法是：把弧田看成是一个弓形，再把弓形之外的部分也考虑进去。 他建议把弧田分成更小的弓形，逐层逼近。

这个思路其实就是割圆术在弓形面积上的应用——把弓形切得更细，层层逼近，精度越来越高。

刘徽的思考方式非常超前：他不但给出了算法，还分析了算法的误差来源，并给出了改进方案。 这在两千年前是极其难得的数学批判精神。

高中课本关联

三角函数·弧长与扇形面积

高中讲弧度制的时候，会学到扇形面积公式 $S = \frac{1}{2} R^2 \theta$。弓形面积其实就是扇形面积减去三角形面积：

$$S_{\text{弓形}} = \frac{1}{2}R^2\theta - \frac{1}{2}a\sqrt{R^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}$$

这个公式和弧田术的公式对比，可以让学生直观地感受到近似公式和精确公式的区别。什么时候近似公式好用？什么时候必须用精确公式？这是一个很好的数学思维训练点。

数列·逼近思想

弧田术和刘徽的改进，和数列里的"逼近"思想一脉相承。刘徽把弓形不断细分，本质上就是迭代逼近——和数列极限里的"越来越接近"是同一个思路。

高中数学里讲二分法求方程近似解、讲定积分中的"分割-近似-求和-取极限"，都是这种逼近思想。弧田术可以作为一个两千年前的"逼近"案例来引入。

解析几何·圆与弦

在解析几何中，圆被一条直线截得的弦和弓形，是一个标准的几何问题。已知弦长和矢高求圆的方程，或者反过来，已知圆方程求弦长和弓形面积——这些都是常见的考题。

弧田术可以让学生看到：同一个几何问题，古代人用近似公式，现代人用解析几何，方法不同，但目标是一样的。 数学的发展，就是从一个"够用就行"的近似，走向一个"精确到极致"的严格体系。

思考与拓展

1. 弧田术公式 $S = \frac{ah + h^2}{2}$ 在什么情况下比较精确？什么情况下误差很大？你能不能画个图来分析？

2. 如果把弧田换成"矢高很小"的情况（比如弦长 30 步，矢高 3 步），古人的公式和现代公式的误差会变大还是变小？为什么？

3. 如果让你设计一个公式来估算弓形面积，你会怎么设计？是用弦长和矢高，还是会引入其他参数？

一句话总结

弧田术是古人在没有三角函数的条件下，用弦长和矢高两参数估算弓形面积的巧妙近似，刘徽的改进则展现了古代数学家的批判性思维——两千年前，他们已经在思考"这个公式到底准不准"了。