邪田术二：对称的智慧

原文

又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步。问为田几何？

答曰：二十三亩七十步。

术曰：并两广而半之，以乘正从。若广一畔从，从一畔广。

白话翻译

又有一块梯形的田，正面的宽（上底）65 步，一条边（左腰）长 100 步，另一条边（右腰）长 72 步。问这块田面积是多少？

答案：23 亩零 70 平方步。

计算方法：还是和上一题一样——把上底和下底加起来，取一半，乘以高。如果只知道一边的斜长和另一边的宽，也可以算。

数学解读

1. 为什么又来一道邪田？

先得搞清楚这道题和上一道题的区别。

第三题说的是"一头广三十步，一头广四十二步"——上底短、下底长，是一个上窄下宽的梯形。

第四题说的是"正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步"——"正广"是正面的宽（上底 65 步），"一畔从"是两边的斜长（100 步和 72 步）。

诶，等等。这里只给了上底和两边的斜长，没给下底。那怎么算？

实际上，这道题是给了你上底和两条斜边，让你求面积。在今天的数学里，只知道梯形上底和两条腰的长度，是不能确定面积的——因为梯形的高取决于腰的倾斜角度。但古人为什么能算出来呢？

答案可能没那么复杂：古人在实际测量中，可以直接量出高来。文献里这个"正广"可能就是指上下底中较短的那条边，而"一畔从"就是两条腰的长度。实际上，古人可能把"正从"（高）也一起量了，只是术文里写的是"一畔从"，暗示了已知条件。

但更合理的解释是：这道题是上一道题的对称版——上一道题是"上短下长"，这道题是"上长下短"。本质上是一样的梯形，只是翻了个面。

2. 对称的视角

你看，第三题和第四题在 catalog 里被分成了两个独立的条目，但用的方法完全一样："并两广而半之，以乘正从"。

为什么古人要分开写？因为他们考虑的是实际测量中的不同情况：

• 如果你站在田的窄头看，那就是"一头广三十步，一头广四十二步"
• 如果你站在田的宽头看，那就是"正广六十五步……"

测量立场不同，命名就不同。但公式是一样的。

这其实触及了数学中一个深刻的概念——对称性。

在数学里，对称性是说：一个对象在某种变换下保持不变。梯形左右翻转，面积公式不变；上下颠倒，面积公式还是不变。公式对梯形的方向不敏感，这就是对称性。

高中生学函数的时候，$f(x) = f(-x)$ 叫偶函数，$f(-x) = -f(x)$ 叫奇函数——这就是对称性。但很多人觉得抽象。其实从田地的例子来看，对称性再自然不过了：你站哪边看，田还是那块田。

3. 算一算答案对不对

这道题的答案说的是"二十三亩七十步"。我们来验证一下。

已知上底 65 步，左腰 100 步，右腰 72 步。要算出准确的面积，需要知道高和下底。

古人给的答案 23 亩 70 步，换算成平方步是：

$$23 \times 240 + 70 = 5520 + 70 = 5590 \text{ 平方步}$$

这说明什么？说明古人既然能给出这个答案，说明他们肯定有办法测出高和下底。在实际的田亩测量中，古人用绳子直接量垂距，不是什么难事。

而这道题的核心价值，不在具体数值，而在它的对称性——它告诉我们，同一个公式，可以处理不同摆放方式的同一类图形。

4. 从"正广"说开去

"正广"这个词，在第三题里没有出现，在第四题里出现了。

"正广"就是"正面的宽度"。这就很有意思了——古人把田的朝向也考虑进去了。在实际丈量中，你站在田的某一侧，正对着你的是"正广"，侧面是"一畔从"。

这种命名方式，反映了中国古代数学的另一个特点：测量者和测量对象之间是有关系的，不是完全客观的。 西方数学追求的是"上帝视角"——不依赖于观察者的位置。但中国古代数学更务实——我就站在这里，我量我看到的。

这个区别，在后来发展出截然不同的数学体系：

• 西方：坐标几何（笛卡尔），把观察者抽离出来，用抽象的坐标系描述空间
• 中国：没有发展出坐标几何，但术文里处处体现着测量者的视角

两种都是数学，只是出发点和目标不同。

高中课本关联

空间几何中的"翻转"与"对称"

高中数学里，立体几何的题经常会强调"不管怎么放"。比如一个三棱锥，不管你怎么旋转它，体积公式 $V = \frac{1}{3}Sh$ 不变。

这和邪田术的思路完全一样：形状不变，公式不变，方向和位置不影响结果。

函数中的对称性

必修一学函数奇偶性的时候，可以拿这个例子来类比：

• 偶函数 $f(x) = f(-x)$：就像梯形上下颠倒，面积不变
• 奇函数 $f(-x) = -f(x)$：就像直角三角形沿 y 轴翻转，面积互为相反数（方向相反）

学生可能觉得奇偶性抽象，但如果你说"这就像你站田的南边看和北边看，田还是那块田"，他们一下子就懂了。

分类讨论的思想

这道题和上一道题的关联，其实是一个很好的"分类讨论"教学案例。

为什么要分"上窄下宽"和"上宽下窄"两种情况？ 因为古人注意到，在实际测量中，这两种情况都可能出现——三种情况都适用的公式只是一个，但测量时的操作步骤可能不同。

高中数学里，分类讨论是常见题型。但很多学生觉得分类讨论是"老师出题难为我"的。如果从《九章算术》里看，分类讨论不是数学技法，是现实世界的真实需要——因为现实不会按照你的公式来排列。

教学启示

1. "对称性"是可以教出来的

很多老师讲对称性，直接从函数图像开始。但可以先从几何图形开始——拿一个梯形，正着放、倒着放、翻过来放，问学生"面积变了没有？"他们不会说"变了"。但你再问"为什么变了变了？"——这就是对称性的直觉起点。

2. 同一个公式，不同的"关键信息"

第三题已知的是两个底和一个高，第四题已知的是一个底和两个腰。已知条件不同，但公式相同。 这可以让学生理解：数学公式是"模式"，只要图形符合这个模式，不管给你什么条件，你都能绕到公式上来。

3. 数学史是降维打击

讲梯形面积的时候，顺手提一句"两千年前，中国农民就用这个公式了"，学生眼睛会亮一下。数学史不是多余的装饰，它是学生理解数学的另一个维度。

我自己的一点感想

这道题我一开始觉得是"凑数"的——不就是上一题的镜像版吗？

但后来越琢磨越觉得有意思。古人把同一个形状的两种不同摆法，当成两个独立的问题来写。这在我们今天看来是"冗余"，但在古人看来，这叫"详备"——我把所有可能的情况都列出来，你照着做就行了。

这种"详备"的精神，其实是算法思维的精髓：不是只给一个通用公式，而是把各种可能情况都考虑进去，给出完整操作步骤。

今天写程序的人，管这个叫"边界条件处理"。两千年前，古人管它叫"不厌其详"。

所以我越来越觉得，读《九章算术》不是在读"古代数学"，而是在读数学思维最原始、最本真的形态——没有抽象符号，没有严格的证明体系，但每一句话都直指问题的本质。

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