邪田术：梯形面积公式的由来

原文

今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？

答曰：九亩一百四十四步。

术曰：并两广而半之，以乘正从。若广一畔从，从一畔广。又法：半广以乘正从。

按：此术以"并两广而半之"即梯形面积公式。又法为补割法，以盈补虚。

白话翻译

现在有一块梯形的田，一头（上底）宽 30 步，另一头（下底）宽 42 步，垂直高度（正从）64 步。问这块田面积是多少？

答案：9 亩零 144 平方步。

计算方法（邪田术）：把上底和下底加起来，取一半，再乘以高。如果只知道一边的斜长和另一边的宽，也可以用类似的方法。另一种方法：把上底和下底拼成一个长方形，再逐步割补。

数学解读

1. 什么叫做"邪田"？

"邪"就是"斜"。邪田，就是斜着的田。

想象一下：你有一块方方正正的田，但是被一条斜线切了一刀，于是就变成了一个梯形。所以古人叫它"邪田"——不是"邪恶"的意思，是"歪斜"的意思。

梯形和三角形的区别是什么呢？圭田（三角形）是"尖的"，邪田（梯形）是"一头大一头小，但两头都是平的"。

命名逻辑还是那个味道——从形状特征出发，不跟你讲抽象定义。

2. "并两广而半之，以乘正从"——梯形公式

这道题的方法，翻译成现代数学就是：

$$S = \frac{a + b}{2} \times h$$

其中 $a$ 是上底（一头广 30 步），$b$ 是下底（一头广 42 步），$h$ 是正从（高 64 步）。

代入算一下：

$$\frac{30 + 42}{2} \times 64 = 36 \times 64 = 2304 \text{（平方步）}$$

然后换算成亩：$2304 \div 240 = 9 \text{亩} \dots 144 \text{步}$。和答案一模一样。

有意思的是，这个公式和今天小学数学课本里写的梯形面积公式完全一样，两千多年没变过。你能想象吗？两千年前中国农民算田的方法，和你今天教学生算梯形面积的方法，是同一种。

3. 为什么古人能想到这个公式？

这就要回到圭田术（第 2 讲）里说的"以盈补虚"了。

一个梯形，你把它切成三块：

• 左边一个三角形
• 中间一个长方形
• 右边一个三角形

然后你把右边那个三角形割下来，补到左边……别扭。其实有更简单的方法：

把两个完全一样的梯形拼在一起，就变成一个平行四边形了。

平行四边形的面积是"底 × 高"，这个底正好是"上底 + 下底"，所以一个梯形的面积就是"（上底 + 下底）× 高 ÷ 2"。

刘徽在注里说："并两广而半之者，以盈补虚也。"——把两个底加起来再取一半，本质上还是割补法。

4. 这道题还有一个陷阱

注意看原文里有一句："若广一畔从，从一畔广。"

什么意思？就是说，如果只知道一条边的斜长和另一条边的宽，你可以交换着算。这其实是在说：梯形面积公式不要求你非得知道哪条边是上底、哪条边是下底，你只需要知道两个底边长和垂直高就够了。

为什么古人要强调这个？因为在实际测量中，哪条边是"上"哪条边是"下"是人为规定的。田在地上，地是平的，你站哪边看都可以。所以他们很灵活——不纠结于"上"和"下"的命名，只关心"两个底"这个数学事实。

5. 中西方对比：梯形 vs. 梯形

古希腊的欧几里得在《几何原本》里也讲了梯形，而且定义更严格："梯形是指只有一组对边平行的四边形。"

但古希腊人算梯形面积也是用同样的公式 $(a + b)h/2$。这说明什么？

数学知识的产生，往往是被实际需求驱动的。 不管是中国的农民还是希腊的学者，只要你遇到了梯形的土地，你都需要一个方法来算它的大小。而最自然的解法，就是把它转化成已知的图形（长方形或平行四边形）。

高中课本关联

必修一·等差数列求和公式

这个关联可能有点意外，但仔细想想：

梯形面积公式 $S = \frac{a + b}{2} \times h$，和等差数列求和公式 $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n$，在结构上完全一样！

一个是"（上底 + 下底）÷ 2 × 高"，一个是"（首项 + 末项）÷ 2 × 项数"。

本质上，等差数列求和就是把一个阶梯形的"面积"算出来。反过来，梯形面积就是等差数列求和的直观几何解释。

高中数学里，等差数列求和公式的推导，也有一个"倒序相加"的方法——把两个数列头尾颠倒拼起来，就是一对对相等。这和"两个梯形拼成平行四边形"是同一个思路。

必修二·空间几何体中的截面积

到了立体几何，梯形面积公式就变成了台体（棱台、圆台）体积公式的种子。

台的体积公式：$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2})$

这个公式比梯形面积公式复杂得多，但思想是一样的——把上下两个"底"取平均，再乘以高。只是体积公式里变成了"下底面积 + 上底面积 + 几何平均"这种更复杂的平均方式。

学生如果能从梯形面积公式一路理解到台体体积公式，就能体会到从二维到三维的推广，不是简单的复制粘贴，是有层次、有深度的。

向量与平面几何中的梯形

到了高二，学到向量的时候，可以用向量方法证明梯形面积公式。比如把梯形看成一个向量组合，用叉积的模来算面积。

这其实是一个很好的综合题：用向量法推导梯形面积公式，既复习了向量运算，又加深了对几何公式的理解。

教学启示

1. 梯形面积公式不一定要死记

很多学生记梯形面积公式会记成"上底加下底乘以高"，忘了除以 2。

你可以用"两个梯形拼平行四边形"的方法来演示——让学生亲手画两个梯形，剪下来拼在一起，他们就会明白为什么有除以 2。

2. "邪田"这个名字是个好切入点

讲梯形的时候，可以问学生："为什么古代中国人把梯形叫做'邪田'？"

学生可能会说"因为它歪歪斜斜的"。对了！古人就是这样命名的。一个名字，就是一段历史，也是一种思维方式。

3. 从梯形到等差数列的跨学科联系

这是一个很好的"数学内部联系"的例子。看起来完全不相关的两个概念——几何里的梯形面积和代数里的等差数列求和——居然有相同的公式结构。

数学的美，就在于这种看似不相关的东西之间，暗藏着统一的结构。

我自己的一点感想

邪田术这道题，我读完最大的感受是：古人解决问题的方式，其实和我们今天没什么两样。

他们遇到了梯形，"一头大一头小"——怎么算？先看看已知的（长方形面积），再想想怎么把未知转化成已知。这就是"割补法"的核心思想。我们今天教学生做数学题，不也是这个思路吗？

知道一个方法，然后遇到新问题，想办法转化成已知方法去解决。

两千年前的人是这样，两千年后的我们也是这样。

所以有时候我觉得，读《九章算术》不是在读"古代数学"，而是在读数学思维本身——去掉了时代标签、去掉了符号体系、去掉了所有现代包装之后，剩下的那个最朴素的东西。

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