第9讲 登山临邑 —— 四望术的巅峰：一次测量，城邑的南北长和东西宽全知道

白话翻译

今有登山临邑，邑在山南。偃矩山上，令勾高三尺五寸。令勾端与邑东南隅及东北隅参相直。从勾端遥望东北隅，入下股一丈二尺。又施横勾于入股之会，从立勾端望西北隅，入横勾五尺。望东南隅，入下股一丈八尺。又设重矩于上，令矩间相去四丈。更从立勾端望东南隅，入上股一丈七尺五寸。问邑广长各几何？

答曰：南北长一里一百步；东西广一里三十三步、少半步。

术曰：以勾高乘东南隅入下股，如上股而一，所得减勾高，余为法；以东北隅下股减东南隅下股，余以乘矩间为实。实如法而一，得邑南北长也。求邑广：以入横勾乘矩间为实。实如法而一，即得邑东西广。

这道题说的是什么

这是《海岛算经》的最后一题，也是最复杂的一题——四望术。

想象一下：你站在山上，山下有一座城邑（邑）。城邑是长方形的，你需要知道它的南北长和东西宽各是多少。

但你下不了山，不能靠近城邑去量，只能用一把矩尺在山上测量。

矩尺的用法和之前一样：竖直边叫"立勾"（高 3.5 尺），水平边叫"横勾"。但这一题多了一个新花样——在矩尺上架设横勾，用它来测量东西方向的宽度。

四次观测

第一次观测（低处）：从勾端（矩尺的顶端）看城邑的东北隅（东北角）→ 视线在立勾上截出"入下股"1丈2尺。

第二次观测（低处）：从勾端看城邑的东南隅（东南角）→ 视线在立勾上截出"入下股"1丈8尺。

第三次观测（低处，横勾）：在矩尺的"入股之会"（即第一次观测视线与立勾的交点处）架设横勾，从勾端看城邑的西北隅（西北角）→ 视线在横勾上截出"入横勾"5尺。

第四次观测（高处）：把矩尺向上移动 4 丈（矩间），在更高的位置重新架好矩尺，从勾端看城邑的东南隅→ 视线在立勾上截出"入上股"1丈7尺5寸。

四次观测，四个数据，同时求出两个未知量——这就是四望术。

示意图

数学解读

这道题的本质是：同时测量两个互相垂直方向上的未知长度。南北长用"重差法"（类似前几题），东西宽用"横勾法"（新方法）。

数据整理

设：

• 句高 $h = 3.5$ 尺
• 望东北隅，入下股 $p_1 = 12$ 尺
• 望东南隅，入下股 $p_2 = 18$ 尺
• 望西北隅，入横勾 $p_3 = 5$ 尺
• 矩间（两次观测点垂直距离）$d = 40$ 尺
• 望东南隅，入上股 $p_4 = 17.5$ 尺

第一步：求南北长

刘徽的术文说：以勾高乘东南隅入下股，如上股而一，所得减勾高，余为法；以东北隅下股减东南隅下股，余以乘矩间为实。实如法而一，得邑南北长也。

翻译成现代公式：

换算成里和步：

第二步：求东西广

术文说：求邑广：以入横勾乘矩间为实。实如法而一，即得邑东西广。

换算：

（少半步 ≈ 3 尺，所以 2 尺 ≈ 少半步）

第三步：公式的代数形式

将刘徽的算法整理成现代公式：

南北长公式：

东西广公式：

第四步：为什么两个公式共享同一个分母？

这是本题最精妙的地方：

分母 $\frac{h \cdot p_2}{p_4} - h$ 只与两次观测东南隅的"入股"数据有关（$p_2$ 和 $p_4$），与东北隅和西北隅无关。

这个分母实际上是两次观测点之间的"等效高度差"——它反映了一个事实：观测点从低处移到高处，看同一个目标（东南隅）的视角变化了多少。这个视角变化率，是后面所有计算的基础比例尺。

南北方向的分子 $(p_2 - p_1) \cdot d$：$p_2 - p_1$ 是东南隅和东北隅在低处观测时的"入股差"，乘以矩间 $d$，就是南北方向的总"视差"。

东西方向的分子 $p_3 \cdot d$：$p_3$ 是西北隅在横勾上的截距，乘以矩间 $d$，就是东西方向的总"视差"。

两个分子分别对应两个方向，但分母相同——因为比例尺（视角变化率）是同一个。这就是刘徽的"一法两用"思想。

这道题的精妙之处

1. 四望术——重差术的终极形态

二望术测一个量（如海岛高度），三望术测一个更复杂的量（如楼高或渡口宽），四望术同时测两个量。刘徽在《九章算术注》序言中说："度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。"——"离而又旁求"说的就是：当一个目标在纵向和横向都有未知量时，只做三次观测还不够，必须在"旁"（横向）上也做额外的观测。这就是四望术的由来。

2. 横勾的妙用

前几题用的都是"立勾"——竖直方向上的观测。但这道题首次引入了横勾（水平方向的矩尺边），用来测量东西方向的宽度。横勾的引入，意味着刘徽已经掌握了二维测量的思想——立勾测南北，横勾测东西，一个矩尺同时覆盖两个维度。

3. "一法两用"的数学智慧

两个未知量（南北长和东西广）共用同一个分母（法）。这意味着：你只需要做一次"两次重差"的计算，就能同时解决两个方向的问题。这比分别计算两个方向要高效得多。刘徽的术文实际上是在说："法"是由两次观测东南隅得到的，它代表了观测系统的"比例尺"；然后你用这个比例尺去分别测量南北方向和东西方向的目标。

4. 四望术在历史上的评价

南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中特别指出："清渊白石、登山临邑，非四望之术乎？"他把"登山临邑"和"望清渊"并列为四望术的代表。四望术被认为是重差术的最高成就——"离而又旁求"，意味着当一个目标既有纵向距离又有横向跨度时，必须用四个观测点才能完全确定。

跟高中数学的关系

这道题对应的高中知识点是：

相似三角形的综合应用 + 二维测量 + 分式方程

具体对应

1. 相似三角形的判定与性质：AA 判定，对应边成比例
2. 二维坐标思想：南北方向和东西方向分别测量，相当于在平面上建立两个正交的坐标轴
3. 分式方程：从比例关系建立方程，求解未知量
4. "同分母"思想：两个未知量共享同一个分母，类似于"公分母"的概念

高考题型

这道题在高考中对应的是"解三角形的实际应用"中的"同时测量两个未知量"类问题。典型的命题形式：

• 某人站在山顶，用测角仪分别测量山脚下一座长方形建筑物的两个角，得到俯角 $\alpha$ 和 $\beta$；然后换一个更高位置再测，得到新的俯角 $\gamma$；同时，用水平方向上的测量得到另一个数据。求建筑物的长和宽。

这类问题在高考中属于"综合应用题"，难度较高，但核心思路和刘徽的四望术完全一致——建立两个方向的相似三角形，分别求解。

教学启示

1. 四望术是"从一维到二维"的跨越

前几讲都是"一维测量"——测高度、测深度、测宽度，都是单一方向。这一讲是"二维测量"——同时测南北和东西两个方向。这对应着数学思维的一次重要跃迁：从解一个方程到解两个方程。

2. "一法两用"是系统思维的体现

刘徽没有分别计算南北和东西的比例尺，而是用一个比例尺解决两个问题。这相当于现代数学中的"参数化"思想——先确定一个公共参数（比例尺），然后用它去表达所有未知量。

3. 横勾的引入——工具的升级

前几讲只用立勾，这一讲加上了横勾。这提醒我们：当问题变得复杂时，工具也需要升级。刘徽没有发明新工具，但他发明了旧工具的新用法——矩尺的横勾原来也可以用来测量，不只是用来固定。

思考与拓展

1. 这道题中，南北长和东西宽的计算共用了同一个"法"（分母）。你能解释一下为什么它们可以共用同一个分母吗？如果用数学语言表达，这个"法"在几何上代表什么？ （提示：想想两次观测东南隅的"入股"变化，这个变化反映了什么比例关系？）

2. 如果把矩尺的高度从 3.5 尺改成 7 尺，其他数据不变，南北长和东西宽会变成多少？这种变化有什么规律？ （提示：重新计算 $\frac{h \cdot p_2}{p_4} - h$ 这个分母，看看它和 $h$ 的关系。）

3. 这道题和第 4 讲"南望方邑"都是测量城邑的大小，但方法完全不同。你能对比一下两者的异同吗？ （提示：第 4 讲利用"三点共线"的天然条件，这一讲用"四望术"主动测量——一个是"借势"，一个是"造势"。）

4. 如果这座城邑不是长方形，而是平行四边形（南北方向与东西方向不垂直），刘徽的横勾法还能用吗？需要怎么调整？ （提示：横勾测量的是水平方向上的投影，当城邑不是矩形时，南北和东西方向可能不正交，需要修正投影关系。）

5. 这道题是《海岛算经》的最后一题。回顾全部 9 道题，你觉得刘徽在安排题目顺序时有什么逻辑？从"望海岛"到"登山临邑"，难度和复杂度是如何逐步升级的？ （提示：从二望到三望到四望，从测高到测深到测宽到同时测两个方向，从单一目标到复合目标。）

一句话总结

四望术是重差术的终极形态——一次测量同时解决南北和东西两个方向的问题，用一个"法"（比例尺）分别计算两个未知量，体现了刘徽"一法两用"的系统思维和二维测量的数学智慧。