第8讲 登山望津 —— 山上山下三望术：换个位置量渡口

白话翻译

今有登山望津，津在山南。偃矩山上，令句高一丈二尺。从句端斜望津南岸，入下股二丈三尺一寸。又望津北岸，入前望股里一丈八寸。更登高岩北，却行二十二步，上登五十一步，偃矩山上。更从句端斜望津南岸，入上股二丈二尺。问津广几何？

答曰：二里一百二步。

术曰：以句高乘下股，如上股而一。所得以句高减之，馀为法；置北行，以句高乘之，如上股而一。所得以减上登，馀以乘入股里为实。实如法而一，即得津广。

这道题说的是什么

想象一下：你站在一座山的南坡上，山脚下是一条河，河上有一个渡口（津）。渡口有南岸和北岸，你需要知道渡口有多宽——也就是从南岸到北岸的距离。

但你不能下山，不能过河，也不能乘船去量——你只能站在山上，用一把矩尺（直角三角板）来测量。

这就是刘徽三望术的又一次精彩应用。

场景布置

第一步：站在山上的第一个位置，架好矩尺，句高 1 丈 2 尺。从句端斜着往南看：

• 看渡口南岸：视线交在矩尺的股上，截出"下股" 2 丈 3 尺 1 寸 → 这叫"入下股"
• 看渡口北岸：从同一个句端再看，视线交在矩尺的股上，截出"入股里" 1 丈 8 寸 → 这叫"入前望股里"

第二步：往北走、往高处爬——"却行"（后退）22 步，再"上登"（向上爬）51 步。到达第二个观测点，再架好矩尺，句高同样 1 丈 2 尺。

• 看渡口南岸：视线交在矩尺的股上，截出"上股" 2 丈 2 尺 → 这叫"入上股"

三个数据：入下股 23.1 尺、入股里 10.8 尺、入上股 22 尺，配合句高 12 尺、北行 22 步（132 尺）、上登 51 步（306 尺），就能算出渡口的宽度。

示意图

数学解读

这道题是"三望术"的典型代表——三次观测解决一个未知量。但它和前几题不同的是，观测点不仅水平移动了，还垂直移动了（"却行"+"上登"）。

第一步：建立几何模型

将场景简化为侧视图。设：

• $h$ = 句高 = 12 尺（矩尺竖直边的高度）
• 第一次观测（较低位置）：
  • 看南岸：入下股 $p_1 = 23.1$ 尺
  • 看北岸：入股里 $p_2 = 10.8$ 尺
• 第二次观测（较高位置）：
  • 看南岸：入上股 $p_3 = 22$ 尺
• 水平后退：$b = 22$ 步 = 132 尺
• 垂直上升：$u = 51$ 步 = 306 尺

第二步：理解"入股"的几何意义

"入股"是视线在矩尺股（竖直边）上的截距。从句端看出去，视线经过句端和股上的点，形成一条直线。这条直线与南岸（或北岸）的交点，就是被观测的目标。

关键关系：入股的大小与视线和水平面的夹角有关。入股越小，视线越陡（往下看的角度越大）；入股越大，视线越平。

第三步：刘徽的术文推导

刘徽的术文分四步：

第一步：以句高乘下股，如上股而一。

这个值是什么意思？它是在计算：如果第一次观测的句高按比例"缩放到"第二次观测的入股水平，等效的"虚拟句高"是多少。

第二步：所得以句高减之，馀为法。

这个 0.6 尺就是两次观测的"等效句高差"——它反映了两个观测位置因高度不同带来的视角差异。

第三步：置北行，以句高乘之，如上股而一。所得以减上登。

这个 234 尺是两个观测点之间的"等效垂直距离"——把北行（水平后退）折算到垂直方向，再从实际的上登距离中减去，得到的是纯几何意义上的高度差。

第四步：馀以乘入股里为实。

第五步：实如法而一，即得津广。

第四步：换算成里和步

所以：2 里 102 步 ✓

第五步：公式的代数形式

将刘徽的算法整理成现代公式：

其中 $p_1$ 是入下股（第一次看南岸），$p_2$ 是入股里（第一次看北岸），$p_3$ 是入上股（第二次看南岸），$h$ 是句高，$b$ 是北行步数，$u$ 是上登步数。

代入数值验证：

第六步：理解公式的几何直觉

这个公式的几何直觉是：

1. 分子 $(u - \frac{bh}{p_3}) \cdot p_2$：两个观测点的"有效高度差"乘以南北岸的"入股差"。高度差越大，两条视线就越"分开"，能看到的宽度就越大；南北岸的入股差越大，说明渡口越宽。

2. 分母 $\frac{hp_1}{p_3} - h$：两次观测的"等效句高差"。这个差很小（只有 0.6 尺），说明两次观测的视角非常接近——观测点移动了很大距离，但视角变化很小，这意味着渡口很远。视角变化越小，分母越小，计算出的宽度越大——这正是"重差术"的核心思想：用小的测量差放大到大的未知量。

这道题的精妙之处

1. 水平移动 + 垂直移动——复合移动的测量

前面几题的观测点移动，要么是纯水平（后退），要么是纯垂直（累矩）。这一题是同时水平后退和垂直上升——"却行二十二步，上登五十一步"。这种复合移动更接近真实场景：爬山不是纯粹的垂直运动，你会同时往前走和往上爬。

刘徽的术文巧妙地把水平移动折算成了垂直移动（$\frac{bh}{p_3}$ 这一步），然后从实际的上登中减去，得到"等效垂直距离"。这种维度转换的思维，是重差术中最精彩的部分。

2. 三望术的"双目标"应用

第 5 讲"登山望楼"也是三望术，但那是"两矩测楼底 + 小表测楼顶"——两个目标（楼底和楼顶）在同一竖直线上。这一题不同：两个目标（南岸和北岸）在水平方向上。

第一次观测同时看两个目标（南岸和北岸），第二次观测只看一个目标（南岸做验证）。这个设计和第 6 讲"东南望波口"的思路非常相似——都是用一次观测确定两个目标的位置关系，用第二次观测提供一个额外的比例约束。

3. 不需要知道山有多高

这道题最巧妙的地方是：你不需要知道山的绝对高度。你只需要知道两个观测点之间的相对位置变化（走了多少步、爬了多少步），再结合矩尺上的"入股"数据，就能算出渡口的宽度。山的具体高度在计算中被自然抵消了。

跟高中数学的关系

这道题对应的高中知识点是：

相似三角形的综合应用 + 比例线段 + 分式方程

具体对应

1. 相似三角形的判定：AA 判定（两个角对应相等）
2. 比例线段：相似三角形对应边成比例
3. 解分式方程：从比例关系建立方程，求解未知量
4. 维度转换：把水平移动量转化成垂直方向上的等效量

高考题型

这道题本质上是"从两个不同高度观测同一目标，结合两次观测点之间的相对位置，求解未知距离"的经典题。在高考中，这类题出现在：

• 解三角形应用题——尤其是"测量距离/宽度"类问题
• 平面几何——相似三角形的综合应用
• 函数与方程——建立方程模型求解实际问题

典型的考题形式：某人站在山腰 A 处看河对岸某点，测得俯角为 $\alpha$；爬到山顶 B 处（上升 $h$ 米，水平前进 $d$ 米），再测同一目标，俯角为 $\beta$，求河宽。这正是刘徽登山望津术的现代版本——用三角函数代替了"入股"。

教学启示（可选）

1. 复合移动的测量——更接近真实场景

前面几题的观测点移动都是"纯方向"的（只有水平或只有垂直），这一题是复合移动。这更接近真实场景：你要测量一个远方目标，很难找到一条完美的纯水平或纯垂直的移动路径。刘徽的解法告诉我们：复合移动也不怕，只要把不同方向的移动量通过相似三角形折算到同一个维度，就能消除干扰。

2. "重差"的另一种形式

前面几题的"差"都是同一方向的（两次测量的股差），这一题的"差"是不同维度的（水平移动和垂直移动的折算差）。这说明"重差"不仅适用于同一方向，也适用于不同方向之间的转换——刘徽已经掌握了这种转化思维。

3. 三望术的"双目标"模式

这道题的三望是：两次测南岸 + 一次测北岸。和第 5 讲"登山望楼"的"两次测楼底 + 一次测楼顶"不同，第 6 讲"东南望波口"的"两次测南岸 + 一次测北岸"更接近。这说明三望术有两种基本模式：

• 竖式三望：两个目标在同一竖直线（楼底和楼顶）
• 横式三望：两个目标在同一水平线（南岸和北岸）

思考与拓展

1. 这道题中，如果观测点不是"却行 22 步 + 上登 51 步"，而是"却行 51 步 + 上登 22 步"，计算结果会有什么变化？为什么？ （提示：看公式中 $b$ 和 $u$ 的位置，以及它们与 $p_3$ 的关系。）

2. 你能不能把这道题改成一个"现代版"的高考题？已知山腰观测点和山顶观测点的俯角、两次观测点之间的水平和垂直距离，求河宽。 （提示：用 $\tan \alpha$ 和 $\tan \beta$ 代替古人的"入股"。）

3. 这道题和第 5 讲"登山望楼"都是三望术，但目标不同（一个是测楼高，一个是测河宽）。你能看出它们的数学结构有什么异同吗？ （提示：前者是"两矩测楼底 + 小表测楼顶"，后者是"两矩测南岸 + 一次测北岸"——都是三次观测，但目标维度和观测方式不同。）

4. 刘徽的术文中，为什么要先把水平后退（北行）折算成垂直距离，再从上登中减去？能不能直接折算从一个观测点到另一个观测点的"等效垂直上升"？ （提示：算 $\frac{bh}{p_3}$ 这一步，本质上是在用相似三角形把水平距离 $b$ 映射到垂直方向，因为视线方向决定了 $p_3$ 的大小。）

一句话总结

三望术测渡口宽——先在山腰同时看南北岸，再爬到高处看南岸，通过"等效垂直距离"折算水平移动的影响，把复合移动转化为纯垂直测量——这是重差术从"单方向"走向"复合方向"的关键一步。