第6讲 东南望波口 —— 连索法：用一条绳子量出河口的宽度

白话翻译

今有东南望波口，立两表南、北相去九丈，以索薄地连之。当北表之西却行去表六丈，薄地遥望波口南岸，入索北端四丈二寸。以望北岸，入前所望表里一丈二尺。又却后行去表一十三丈五尺。薄地遥望波口南岸，与南表参合。问波口广几何？

答曰：一里二百步。

术曰：以后去表乘入索，如表相去而一。所得，以前去表减之，馀以为法；复以前去表减后去表，馀以乘入所望表里为实，实如法而一，得波口广。

这道题说的是什么

前面几题，我们测的是海岛、松树、深谷、城邑和楼——这些都是"看一个或两个点"。这一题变了：测一个宽度——河口的宽度。

想象一下：你站在一条河的南岸，河对岸是一个河口（波口），你需要知道河口有多宽。但你没法过河，也没有测量工具——你只有两根木表（表）和一条绳子（索）。

这就是连索法的核心场景：不过河，测河宽。

刘徽的解法分三步：

第一步：在河岸上，南北方向立两根表，相距 9 丈。两表之间用一条绳子（索）贴着地面连起来。

第二步：走到北表西边 6 丈的位置，趴在地上（薄地）看河口的南岸。视线经过北表，落在绳子的北端——绳子被"吃掉"了 4 丈 2 寸（入索北端）。再从这个位置看河口的北岸，视线穿过北表，在表上标记出"入前所望表里"1 丈 2 尺——也就是北岸比南岸多"缩进去"的距离。

第三步：再往后退，走到距北表 13 丈 5 尺的位置，趴在地上看河口的南岸。这次，视线恰好经过南表的顶端——说明你的视线刚好与南表、河口南岸三点共线。

有了这三个数据——第一次入索 4 丈 2 寸、前进位置距北表 6 丈、后退位置距北表 13 丈 5 尺、以及入所望表里 1 丈 2 尺——就能算出河口的宽度。

示意图

图怎么画出来

这道题用的是连索法，它的数学本质是相似三角形 + 重差原理。

第一步：理解几何关系

先画一个俯视图，理解场景：

• 南北方向立两表，相距 $d = 9$ 丈。绳子（索）连接两表。
• 河口在观测点的东侧，南北各有一岸（南岸和北岸），河口宽度 $W$ 未知。
• 观测点在北表西侧，第一次在距北表 $a_1 = 6$ 丈处，第二次在距北表 $a_2 = 13.5$ 丈处。

第二步：第一次观测——看南岸

第一次观测（距北表 6 丈），视线经过北表看河口南岸：

• 视线在绳子上截出"入索北端" $p = 4$ 丈 $2$ 寸 $= 4.02$ 丈
• 这相当于：在观测点、北表、河口南岸构成的相似三角形中，绳子（长度 $d$）被截出一段 $p$

由相似三角形：

其中 $L$ 是北表到河口南岸的水平距离（沿东西方向）。

由此可得：

第三步：再看北岸——"入所望表里"

同一次观测，再看河口的北岸：

• 视线经过北表，在北表上"入前所望表里" $q = 1$ 丈 $2$ 尺 $= 1.2$ 丈
• 这个 $q$ 是北岸比南岸多缩进去的距离，即北岸相对于南岸的偏移量

由相似三角形：

其中 $W$ 是河口宽度（南北方向）。

第四步：第二次观测——后退验证

第二次观测（距北表 $a_2 = 13.5$ 丈），视线经过南表看河口南岸，三点共线。

这意味着从后退位置看，南表恰好挡住了河口南岸。由相似三角形：

这个关系告诉我们在后退位置，视线与南表参合时，南北表距离 $d$ 和观测点距北表距离 $a_2$ 之间的关系。

第五步：联立求解

从 (1) 和 (4)，我们可以解出 $L$： 由 (4) 得：

代入数值：

等等，负的？这说明我们的模型需要调整。实际上，连索法的几何关系略有不同——让我们重新审视。

正确的理解

实际上，这道题的几何关系是这样的：

第一次观测（距北表 $a_1 = 6$ 丈）：视线经过北表看河口南岸，在绳子上截出"入索北端" $p = 4.02$ 丈。由相似三角形：

其中 $L$ 是观测线到北表沿东西方向的距离。

第二次观测（距北表 $a_2 = 13.5$ 丈）：视线经过南表看河口南岸，三点共线。由相似三角形，$\triangle$ 观测点—南表—河口南岸 $\sim$ $\triangle$ 观测点—北表—南表：

等等，这又复杂了。让我们用刘徽的术文来推导，会更直接。

刘徽的术文推导

刘徽的术文说：

以后去表乘入索，如表相去而一。所得，以前去表减之，馀以为法；复以前去表减后去表，馀以乘入所望表里为实，实如法而一，得波口广。

翻译成现代公式：

第一步：以后去表 $a_2$ 乘入索 $p$，再除以表相去 $d$：

第二步：减去前去表 $a_1$，得"法"（分母）：

第三步：后去表减前去表，得 $a_2 - a_1 = 13.5 - 6 = 7.5$ 丈，乘以入所望表里 $q = 1.2$ 丈，得"实"（分子）：

第四步：实除以法：

300 丈 = 1 里 200 步（1 里 = 300 步，但这里用的是"一里二百步"的答数，说明当时 1 里 = 300 步，300 丈正好对应 1 里 200 步的换算关系）。

整理成公式：

代入数值：

与答案完全一致！

古人的算法解读

这道题是连索法的典型代表。它和前面几题最大的不同在于：用绳子代替了矩或表的高度。

连索法的核心思想：

1. 用绳子做"水平标尺"：南北方向拉一条绳子，代替了前面几题中"矩"的竖直边。观测者趴在地上，视线贴着地面，这样绳子的"入索"长度就相当于一个水平方向的比例尺。

2. 两次不同距离的观测：第一次在 6 丈处，第二次在 13.5 丈处。两次观测点与南表、北表的相对位置不同，构造了两组相似三角形。

3. "入所望表里"是关键：这是南北岸的"差"——同一观测点看南岸和北岸，视线在表上的偏移量。这个偏移量直接对应河口的宽度。

刘徽的算法分四步：

第一步：$\dfrac{a_2 \cdot p}{d} = 6.03$ 丈——这个值实际上是在计算：如果观测点在 $a_2$ 处，通过相似关系推算出的"等效前去表距离"。

第二步：减去实际前去表 $a_1$，得 $0.03$ 丈——这是"重差"的体现，两个观测点因位置不同导致的测量差异。

第三步：$(a_2 - a_1) \cdot q = 7.5 \times 1.2 = 9$——前后两次观测的距离差乘以南北岸的偏移量。

第四步：$9 \div 0.03 = 300$ 丈——这个巨大的比值（300 倍）意味着：观测位置微小的变化，对应着河口宽度很大的变化。这就是"重差术"的精髓——用小的测量差，放大到大的未知量。

这道题的精妙之处

这道题最精彩的地方，在于连索法的优雅设计：

1. 不过河，量河宽——这是最直接的实用价值。古人不需要过河，不需要乘船，在地面上就能测出河口的宽度。

2. 绳子代替高度——前面几题用的都是"矩"（竖直的），这一题用的是"索"（水平的）。竖直的测量对应高度/深度，水平的测量对应宽度——古人已经掌握了这种"维度转换"的思维。

3. 双观测点 + 双目标——第一次观测看南岸和北岸两个目标，第二次观测只看南岸做验证。这就是刘徽所说的"三望"——比"二望"多了一个观测维度。

4. 入索 + 入表里配合——"入索"提供横向位置信息，"入表里"提供纵向（南北方向）的信息。两个数据配合，就能解出未知宽度。

这就像现代测量学中的交会法（intersection）：从两个已知点观测同一个未知点，通过角度差确定未知点的位置。只不过古人用的是"相似三角形"而不是"三角函数"——思路完全一样，工具不同。

跟高中数学的关系

这道题对应的高中知识点是：

相似三角形的综合应用 + 比例线段 + 解方程

具体对应

1. 相似三角形的判定：AA 判定（两个角对应相等）
2. 比例线段：相似三角形对应边成比例，建立比例方程
3. 解分式方程：从比例关系建立方程，求解未知量
4. 重差原理：两次测量值的差与未知量之间的比例关系

高考题型

这道题本质上是"从两个不同位置观测同一目标，建立方程组求解"的经典题。在高考中，这类题出现在：

• 解三角形应用题——尤其是"测量距离/宽度"类问题
• 平面几何——相似三角形的综合应用
• 函数与方程——建立方程模型求解实际问题

典型的考题形式：某人站在河岸上，在 A 处看对岸某点，测得视线与河岸的夹角为 $\alpha$，后退 $d$ 米到 B 处，再测夹角为 $\beta$，求河宽。这正是刘徽连索法的现代版本——只不过古人用的是"入索"（绳子上的截距），现代用的是"正切"。

教学启示（可选）

这道题对高中数学教学很有启发：

1. 测量工具的创新——连索法告诉我们：测量工具不一定要复杂。一条绳子 + 两根木表，就能解决"不过河量河宽"的问题。这启发学生：数学方法比工具更重要。

2. 俯视图 vs 侧视图——前面几题都是侧视图（高度/深度），这一题是俯视图（宽度）。不同的视图对应不同的测量维度，但数学结构完全一样——都是相似三角形。

3. "三望"的升级——从"二望"（两次观测）到"三望"（三次观测），不只是加一次观测，而是增加了测量维度：从"测一个点"到"测一个物体的尺寸"（宽度）。

4. 重差术的通用性——连索法、累矩法、重表法，三种方法看似不同，本质上都是"重差"——利用两次测量的差值推算未知量。这种"差"的思想，在微积分中演变成了"微分"。

思考与拓展

1. 这道题中，如果绳子长度 $d$ 变大（比如从 9 丈变成 18 丈），对计算结果有什么影响？反过来，如果绳子太短会怎样？ （提示：看公式中 $d$ 在分母中的位置，以及它在 $\dfrac{a_2 \cdot p}{d}$ 中的作用。）

2. 你能不能把这道题改成一个"现代版"的高考题？已知观测点位置、后退距离、两次视线与河岸的夹角，求河宽。 （提示：用 $\tan \alpha$ 和 $\tan \beta$ 代替古人的"入索"和"入表里"。）

3. 连索法为什么一定要"薄地"（趴在地上）观测？如果站着看会有什么问题？ （提示：视线高度会影响相似三角形的比例关系；"薄地"保证了视线和地面在同一水平面上。）

4. 这道题的"入所望表里"（1 丈 2 尺）和前面"望松"题的"入表"（2 尺 8 寸）有什么本质区别？ （提示：前者是南北岸的宽度差，后者是松树从地面到树梢的高度差——一个是水平方向的差，一个是竖直方向的差。）

一句话总结

连索法用一条绳子代替了高度测量：不过河、不乘船，在地面上拉一条绳子、站两个位置，通过"入索"和"入表里"两个数据，就能算出河口的宽度——重差术从"竖"做到了"横"。