第5讲 登山望楼 —— 三望术：从楼底到楼顶的完整测量

白话翻译

今有登山望楼，楼在平地。偃矩山上，令句高六尺。从句端斜望楼足，入下股一丈二尺。又设重矩于上，令其间相去三丈。更从句端斜望楼足，入上股一丈一尺四寸。又立小表于入股之会，复从句端斜望楼岑端，入小表八寸。问楼高几何？

答曰：八丈。

术曰：上下股相减，馀为法；置矩间，以下股乘之，如句高而一。所得，以入小表乘之，为实。实如法而一，即是楼高。

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这道题说的是什么

前面几题，我们测的是海岛、松树、城邑——都是"一个目标"。

这一题变了：目标有两个——楼底和楼顶。

想象一下：你站在山顶上，山下有一座楼。你手里有一个直角矩（相当于一个直角三角板），竖直边高 6 尺（句高）。你站在山顶，顺着矩的斜边往下看，视线刚好落到楼底，在矩的水平边上留下了 1 丈 2 尺的"入股"（下股）。

然后你再往后退 3 丈，放第二个矩，同样看楼底，这次入股只有 1 丈 1 尺 4 寸（上股）。

有了这两个数据，你就能算出山到楼的水平距离。

但等等——我们还没算楼高呢！你只知道楼底在哪里，但楼顶呢？

刘徽的解法是：在"入股之会"（即第一次测量时视线与矩的交点）立一根小标杆，再顺着矩的斜边往楼顶看，看小标杆被"吃掉"了多少——入小表 8 寸。

这个 8 寸，就是楼高在矩上的投影。结合前面算出的水平距离，就能求出楼高。

这就是典型的三望术：先测两次楼底定位水平距离，再测一次楼顶推算出楼高。

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示意图

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图怎么画出来

这道题的本质是两次相似三角形。

第一步：先算山到楼的水平距离

设句高为 $h = 6$ 尺，矩间距离为 $d = 3$ 丈 $= 30$ 尺。

第一次测量（矩在山顶）：

$$\frac{h}{x} = \frac{d_1}{L} \qquad (1)$$

其中 $d_1 = 1$ 丈 $2$ 尺 $= 12$ 尺（下股），$L$ 是山到楼的水平距离，$x$ 是第一次矩到楼底的水平偏移。

第二次测量（矩后退 3 丈）：

$$\frac{h}{x + d} = \frac{d_2}{L} \qquad (2)$$

其中 $d_2 = 1$ 丈 $1$ 尺 $4$ 寸 $= 11.4$ 尺（上股）。

从 (1) 得 $x = \dfrac{hL}{d_1}$，代入 (2)：

$$\frac{h}{\frac{hL}{d_1} + d} = \frac{d_2}{L}$$ $$\frac{hL}{d_2} = \frac{hL}{d_1} + d$$ $$\frac{hL}{d_2} - \frac{hL}{d_1} = d$$ $$hL \cdot \frac{d_1 - d_2}{d_1 d_2} = d$$ $$L = \frac{d_1 d_2 d}{h(d_1 - d_2)} \qquad (3)$$

代入数值：

$$L = \frac{12 \times 11.4 \times 30}{6 \times (12 - 11.4)} = \frac{4104}{6 \times 0.6} = \frac{4104}{3.6} = 1140 \text{ 尺}$$

第二步：用小表测楼高

在第一次测量时，视线与矩的斜边交于一点。在这个点立一根小标杆（小表）。

现在看楼顶，视线擦过小标杆顶端，在小表上"吃掉"了 $k = 8$ 寸 $= 0.8$ 尺。

这个 $k$ 和楼高 $H$ 的关系，由相似三角形给出：

$$\frac{H}{k} = \frac{L}{x} \qquad (4)$$

而从 (1) 我们知道 $x = \dfrac{hL}{d_1}$，代入 (4)：

$$\frac{H}{k} = \frac{L}{hL/d_1} = \frac{d_1}{h}$$ $$H = \frac{k d_1}{h} \qquad (5)$$

代入数值：

$$H = \frac{0.8 \times 12}{6} = 1.6 \text{ 尺}$$

等等，这只有 1.6 尺？不对——这只是小表处的"局部楼高"，还要乘以一个比例因子。

实际上，刘徽的术文是：

上下股相减，馀为法；置矩间，以下股乘之，如句高而一。所得，以入小表乘之，为实。实如法而一，即是楼高。

翻译成现代公式：

$$H = \frac{d \cdot d_1 \cdot k}{h(d_1 - d_2)}$$ $$H = \frac{30 \times 12 \times 0.8}{6 \times (12 - 11.4)} = \frac{288}{3.6} = 80 \text{ 尺} = 8 \text{ 丈}$$

与答案完全一致！

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古人的算法解读

这道题是三望术的典型代表。刘徽的算法分三步：

第一步：上下股相减，得 $d_1 - d_2 = 0.6$ 尺，作为"法"（分母）。

第二步：矩间乘以"下股"，再除以"句高"，得 $\dfrac{30 \times 12}{6} = 60$ 尺。这个 60 尺其实是在计算某个比例因子——它等于 $\dfrac{d \cdot d_1}{h}$。

第三步：把这个比例因子乘以"入小表"（$k = 0.8$ 尺），得到 $60 \times 0.8 = 48$ 尺，作为"实"（分子）。

最后：实除以法，$48 \div 0.6 = 80$ 尺 $= 8$ 丈。

这个算法非常简洁：三步运算，一次除法，一次乘法，一次除法——没有中间步骤的复杂计算，所有数据都是直接测量得到。

回头看公式：

$$H = \frac{d \cdot d_1 \cdot k}{h(d_1 - d_2)}$$

这个公式的几何直觉是：$d_1$ 和 $d_2$ 的差值越小（两次测量视角越接近），说明楼越远，楼的微小高度差在矩上反映得越明显，因此 $d_1 - d_2$ 在分母上——差值越小，放大的楼高越大。

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这道题的精妙之处

这道题最精彩的地方，在于把"三维测量"拆解成了两步"二维测量"：

1. 先测楼底——用两次累矩（类似前两题的"望深谷"方法），确定山到楼的水平距离。
2. 再测楼顶——在第一次测量视线与小表的交点，加一个小标杆，通过"入小表"的长度推算楼高。

为什么有了前两步还不够？因为前两步只告诉我们"楼底在哪里"，但楼有多高是额外的信息。

刘徽的聪明之处在于：不需要额外去量楼底到楼顶的水平距离——因为楼是垂直的，楼底和楼顶在同一个竖直线上。所以第一次测量时的"入股之会"点，天然就是楼顶视线在矩上的投影基准。

这就好比：先锁定目标的位置，再测量目标的高度——两个独立问题，用同一个几何框架解决。

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跟高中数学的关系

这道题对应的高中知识点是：

相似三角形的连续应用 + 比例线段

具体对应

1. 相似三角形的判定：AA 判定（两个角对应相等）
2. 比例线段：相似三角形对应边成比例
3. 解方程：从比例关系建立方程，求解未知量

高考题型

这道题本质上是"连续两次利用相似三角形建立方程"的典型题。在高考中，这类题出现在：

• 解三角形应用题——尤其是"测量高度/距离"类问题
• 立体几何初步——空间中的垂直关系与投影

典型的考题形式：某人在 A 处测楼顶仰角为 $\alpha$，后退 $d$ 米到 B 处，测楼顶仰角为 $\beta$，求楼高。这正是刘徽累矩法的现代版本——只不过古人用的是"股"（水平差），现代用的是"正切"。

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教学启示（可选）

这道题对高中数学教学很有启发：

1. 测量的本质是构造相似——所有的测量问题，不管是立表、累矩还是小表，核心都是构造一对相似三角形，把未知量投射到已知量上。

2. 三望术的思维方式——前几题是"二望"（一次差），这一题是"三望"（两次差 + 一次小表）。从二望到三望，不是简单加一个观测点，而是测量维度的升级：从"定位一个点"到"测量一个物体的尺寸"。

3. 一步一步拆解——刘徽没有直接去算楼高，而是先算水平距离，再算楼高。这种分步拆解的思想，在任何复杂问题中都是通用的。

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思考与拓展

1. 这道题中，如果矩间距离 $d$ 变大，对计算结果有什么影响？反过来，如果矩间距离太小（比如 $d < 1$ 尺），会有什么问题？ （提示：看公式中 $d$ 的位置，以及 $d_1 - d_2$ 的大小变化。）

2. 你能不能把这道题改成一个"现代版"的高考题？已知观测点位置、后退距离、两次仰角，求楼高。 （提示：用 $\tan \alpha$ 和 $\tan \beta$ 代替古人的"入股"。）

3. 刘徽为什么要在"入股之会"立小表，而不是直接在矩上标记？ （提示：小表是独立的测量工具，可以自由移动；矩一旦固定，其上的刻度就只能在原地读数。）

4. 这道题的三望法，和前面"望深谷"（第3题）的累矩法，有什么区别和联系？ （提示：望深谷只测深度，登山望楼要测高度——但数学结构几乎一样，只是多了一个"小表"步骤。）

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一句话总结

三望术拆解了三维测量问题：两次累矩锁定楼底位置，一次小表锁定楼顶高度——一个几何框架，分步解决两个变量。