第4讲 南望方邑 —— 正方形边长的间接测量

白话翻译

今有邑方不知大小，各中开门。出北门三十步有木，出西门七百五十步见木。问邑方几何？

答曰：一里。

术曰：令两出门步数相乘，因而四之，为实。开方除之，即得邑方。

---

这道题说的是什么

前两题测的是"高度"——岛高、山高、树高。

这一题换了一种思路：测宽度。

想象一下：有一座正方形的城邑，四面都有城门，我们不知道这座城到底有多大。但是在城的北门外面三十步有一棵树，在城的西门外面七百五十步有一个观测点，从这个点正好能看到那棵树。

问题就是：这座城的边长是多少？

你可能觉得很奇怪——明明看不到城的范围，怎么就能知道城有多大呢？

刘徽给出的答案很简洁：一里，也就是三百步。

更神奇的是他的算法——"两出门步数相乘，因而四之，为实。开方除之"。翻译成现代公式就是：

$$\text{邑方} = \sqrt{4 \times \text{北出门} \times \text{西出门}}$$

代入数字：$\sqrt{4 \times 30 \times 750} = \sqrt{90000} = 300$ 步 = 1 里。

为什么两个"步数"相乘再开方，就能得到城邑的边长？这就是我们接下来要讨论的。

---

示意图

---

图怎么画出来

这道题是个有趣的几何谜题——题目说站在西门外，能看到北门外的树。视线必须擦过城的某个角落才能看到。

根据题目的数字，我们可以证明：视线恰好擦过城的西北角（也就是北门和西门所在的那一边相交的角）。

具体来看：设城边长为 $a = 300$ 步，北门在北边的中点，树在北门外 30 步处；西门在西边的中点，观测点在西门外 750 步处。

我们可以验证三点共线：

• 北门中点：$(a/2, a)$，即 $(150, 300)$
• 树：$(150, 300 + 30) = (150, 330)$
• 西北城角：$(0, a) = (0, 300)$
• 西门：$(0, a/2)$，即 $(0, 150)$
• 观测点：$(-750, 150)$

从观测点到树的连线，斜率为 $\dfrac{330 - 150}{150 - (-750)} = \dfrac{180}{900} = \dfrac{1}{5}$。

从观测点到西北城角：斜率为 $\dfrac{300 - 150}{0 - (-750)} = \dfrac{150}{750} = \dfrac{1}{5}$。

两斜率相同——三点共线。观测点、西北城角、树，恰好在一条直线上。

这就是"出西门七百五十步见木"的几何含义。

---

古人的算法解读

术曰说："令两出门步数相乘，因而四之，为实。开方除之，即得邑方。"

翻译过来就是：

$$\text{邑方}^2 = 4 \times \text{北出门步数} \times \text{西出门步数}$$ $$a^2 = 4 \times 30 \times 750 = 90000$$ $$a = \sqrt{90000} = 300 \text{ 步} = 1 \text{ 里}$$

跟答案完全一致。

但这背后是为什么？两扇门出去的步数，怎么会相乘开方就得到城边长呢？

---

现代数学视角：相似三角形

我们用相似三角形来推导。

设城邑为正方形 $PQRS$，边长为 $a$：

• $P$ 为西北角，$Q$ 为东北角，$R$ 为东南角，$S$ 为西南角
• 北门在 $QR$ 的中点 $M$，$N$ 为北门外的树，$MN = b = 30$ 步
• 西门在 $PS$ 的中点 $K$，$L$ 为西门外的观测点，$KL = c = 750$ 步

关键几何关系：视线从 $L$ 出发，擦过城角 $P$，恰好到达 $N$。也就是说，$L$、$P$、$N$ 三点共线。

从图上可以看出两对相似直角三角形：

第一对：$\triangle LKP \sim \triangle PMN$

• $\angle LKP = \angle PMN = 90°$（因为城是正方形，边是水平和竖直的）
• $\angle LPK = \angle PNM$（因为 $L$、$P$、$N$ 共线，内错角相等）

所以 $\triangle LKP \sim \triangle PMN$（AA 相似）。

由此得到比例关系：

$$\frac{LK}{PM} = \frac{KP}{MN} \qquad (1)$$

其中：

• $LK = c$（西出门步数）
• $MN = b$（北出门步数）
• $PM = a/2$（城边长的一半，因为 $M$ 是北门，$P$ 是西北角）
• $KP = a/2$（同理）

代入：

$$\frac{c}{a/2} = \frac{a/2}{b}$$

交叉相乘：

$$c \times b = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}$$ $$a^2 = 4bc \qquad (2)$$ $$a = \sqrt{4bc} \qquad (3)$$

这正是刘徽的术文！两出门步数相乘再乘以四，开方就是邑方。

代入数字验证：

$$a = \sqrt{4 \times 30 \times 750} = \sqrt{90000} = 300 \text{ 步}$$ $$= 1 \text{ 里}$$

完美对上。

---

这道题的精妙之处

这道题比前两题都更有意思，因为它的观测方式完全不同。

前两题都是"立表后退"——人拿着杆子往后退，用视线的角度差来算距离。这道题没有立表，也没有人动来动去——而是利用了一条天然的几何关系：从西门外看，视线刚好擦过城的西北角，看到北门外的树。

换句话说，题目隐含了一个"三点共线"的条件：观测点、城角、树，三点在一条直线上。

而正是这个共线条件，构造出了两对相似三角形，解出了城边长。

这种思路在数学上叫"构造相似"——不是直接测量，而是利用已有的几何关系，把未知量转化成已知的相似比。

---

跟高中数学的关系

这道题对应的高中知识点是：

相似三角形的判定与性质 + 比例线段

具体来说：

• AA 相似判定：两个角对应相等，两三角形相似
• 相似三角形对应边成比例
• 比例的基本性质：若 $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$，则 $ad = bc$

这道题如果放在高中数学的"解三角形"章节，是一道非常经典的"间接测量"问题——你不需要走到城边上去量，只需要站在西门外、站在北门外，利用视线共线这个条件，就能算出城的大小。

---

思考与拓展

1. 这道题里，为什么视线恰好擦过西北角？能不能擦过其他角？ （提示：试着把西北角换成东北角，看看比例关系还成立吗？）

2. 如果城不是正方形，而是长方形（东西宽、南北窄），同样的观测方法还能用吗？需要补充什么条件？ （提示：两个方向出门的步数，分别对应不同的边长，这时候会有几个未知数？）

3. 刘徽的术文说"开方除之"——你知道古代人是怎么开方的吗？ （提示：中国传统的开方术，最早可以追溯到《九章算术》，用的是类似"长除法"的逐位逼近算法。）

4. 你能不能用这道题的方法，反过来设计一个问题：已知城邑边长和北门外的树，问观测点应该站在西门外多远的地方才能"见木"？

---

一句话总结

两个方向出门的步数相乘再乘四，开方就是正方形城邑的边长——三点共线构造相似三角形，是这道题的几何灵魂。