第三讲 望深谷 —— 站在边上，怎么知道谷有多深？

原典

今有望深谷，偃矩岸上，令句高六尺。从句端望谷底，入下股九尺一寸。又设重矩于上，其矩间相去三丈。更从句端望谷底，入上股八尺五寸。问谷深几何？

答曰：四十一丈九尺。

术曰：置矩间，以上股乘之，为实。上、下股相减，馀为法，除之。所得以句高减之，即得谷深。

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这道题说的是什么

前两道题是"往上看"——测海岛、测松树的高度。

这道题反过来了：往下看，测深度。

你站在悬崖边上，下面是一道深不见底的峡谷。你想知道这谷有多深，但你下不去。怎么办？

刘徽说：用两把"矩"（就是直角曲尺、L 形的尺子）就能测出来。

怎么测？

1. 在悬崖边放第一把矩，让矩的"勾"（短边）伸出崖边，勾高 6 尺
2. 从矩的勾端往下看谷底，视线跟矩的"股"（长边）交于一点。这个交点距离勾的下端有 9 尺 1 寸——这叫"入下股"
3. 往上挪 3 丈（30 尺），再放第二把矩
4. 同样从勾端看谷底，视线跟上矩的股交于 8 尺 5 寸——这叫"入上股"

就这么两下，谷深就算出来了：四十一丈九尺，也就是 419 尺，差不多 140 米——搁现在也挺深的了。

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示意图

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"矩"是什么东西？

"矩"是中国古代最基本的测量工具，就是一个直角拐尺。你可以把它想象成一个大号的三角板的直角。

• 勾：矩的短边，一般是竖直方向
• 股：矩的长边，一般是水平方向
• 句高：就是勾的长度。这里是 6 尺
• 偃矩：就是把矩放倒、放在某个位置的意思

"偃矩岸上"——就是在悬崖边上放一把矩。"重矩"——就是再放一把矩。

前两道题用的工具叫"表"（直杆子），这道题开始用的工具叫"矩"（曲尺子）。工具不一样，但原理是一样的——都是相似三角形。

为什么测高用表、测深用矩？因为测高你可以往后退着测，测深你是站在边上往下看，用矩更方便。

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古人的算法

公式很简洁：

$$\text{谷深} = \dfrac{d \times b_2}{b_1 - b_2} - a$$

其中：$a$ = 句高，$d$ = 矩间，$b_1$ = 入下股，$b_2$ = 入上股。

代入数字：

• 句高 $a = 6$ 尺
• 矩间 $d = 3$ 丈 $= 30$ 尺
• 入下股 $b_1 = 9$ 尺 1 寸 $= 9.1$ 尺
• 入上股 $b_2 = 8$ 尺 5 寸 $= 8.5$ 尺
• 上下股相减 $b_1 - b_2 = 9.1 - 8.5 = 0.6$ 尺

谷深：

$$H = \frac{30 \times 8.5}{0.6} - 6 = \frac{255}{0.6} - 6 = 425 - 6 = 419 \text{ 尺}$$ $$= 41 \text{ 丈 } 9 \text{ 尺}$$

跟刘徽的答案完全一致！

你看，就这么几步：乘一乘、减一减、除一除，谷深就出来了。古代人拿两把尺子比划两下，就能算出几十丈深的峡谷，是不是很厉害？

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现代数学视角：为什么往上挪一下就能测深度？

我们用相似三角形来推一推。

设：

• 谷深为 $H$
• 句高 $a = 6$ 尺
• 矩间 $d = 30$ 尺
• 入下股 $b_1 = 9.1$ 尺
• 入上股 $b_2 = 8.5$ 尺
• 谷底到崖壁的水平距离为 $L$

视线从矩的勾端出发，斜着到达谷底。这条斜线跟矩的股（水平边）的交点就是"入股"。

同一条视线的斜率（竖直变化 / 水平变化）是固定的，所以：

$$\frac{\text{竖直落差}}{\text{水平距离}} = \frac{\text{句高}}{\text{入股}}$$

从下矩看谷底： 竖直落差 = 谷深 + 句高 = $H + a$

$$\frac{H + a}{L} = \frac{a}{b_1} \qquad (1)$$

从上矩看谷底： 矩往上挪了 $d$，所以竖直落差多了一个 $d$：

$$\frac{H + a + d}{L} = \frac{a}{b_2} \qquad (2)$$

现在有两个方程，两个未知数（$H$ 和 $L$）。用 (2) 减 (1)：

$$\frac{d}{L} = a\left(\frac{1}{b_2} - \frac{1}{b_1}\right) = \frac{a(b_1 - b_2)}{b_1 b_2}$$

解出 $L$：

$$L = \frac{d \cdot b_1 b_2}{a(b_1 - b_2)}$$

代入 (1)：

$$H + a = \frac{a}{b_1} \cdot \frac{d \cdot b_1 b_2}{a(b_1 - b_2)} = \frac{d \cdot b_2}{b_1 - b_2}$$

所以：

$$H = \frac{d \cdot b_2}{b_1 - b_2} - a$$

哎，这就是刘徽的公式！完美对上了。

你看，两个方程，两个未知数，一消元就出来了。跟上一题的岛高公式，数学结构完全一样——都是"两个观测值的差做分母，间距乘小值做分子，再调整一个常数"。

这就是"重差术"的精髓：利用两次测量的差，来求那些你没法直接测的量。

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跟高中数学的关系

这道题对应的高中知识点是：

相似三角形 + 解直角三角形

这道题如果放在高中解三角形那一章，就是一道典型的"测量不可到达深度"的问题。

而且，这道题其实能引出一个很重要的思想：间接测量。

什么叫间接测量？就是你没法直接量的东西（谷深、楼高、河宽、日地距离……），通过测其他能测的量，用数学推算出来。

整个物理学、整个天文学，几乎都是靠间接测量建立起来的。

• 地球半径怎么测的？两千年前埃拉托色尼用两个城市的太阳角度差算出来的。
• 月球距离怎么测的？用视差法，其实跟重差术是一个道理。
• 恒星距离怎么测的？还是视差法——地球绕太阳转，半年测一次，用差来算距离。

刘徽的重差术，本质上就是视差法。1700 年前的中国人，就已经在用现代天文学的基本方法了。

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累矩法 vs 重表法

这道题叫"累矩法"——累就是叠起来的意思，两个矩叠在一起用。

上一题叫"重表法"——两个表前后立着用。

方法	工具	测量方向
重表法	两根直杆（表）	测高（往上看）
累矩法	两把曲尺（矩）	测深（往下看）

工具不一样，一个是直杆，一个是曲尺； 方向不一样，一个是测高，一个是测深； 但数学原理是完全一样的——都是两次观测、两次相似、消元求解。

刘徽把测高的叫"重表"，测深的叫"累矩"，名字不一样，道理是通的。这就是数学的"统一美"——看起来完全不同的问题，背后是同一个数学结构。

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思考与拓展

1. 这道题里，两个矩的距离（矩间）越大越好还是越小越好？为什么？ （提示：想一想误差。如果入股读数差了 1 寸，矩间大的时候误差大还是矩间小的时候误差大？）

2. 如果谷底不是平的，而是斜坡，这个方法还能用吗？测出来的结果会偏大还是偏小？

3. 你能不能用"累矩法"的思路，设计一个测量楼高的方法（你在楼里，能上楼，但不能下楼）？

4. 找一个生活中的"深度测量"场景（比如一口井、一个坑、一栋楼的室内层高），用两把尺子（或两本书），实际测一测，看准不准。

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一句话总结

测高用两根杆，测深用两把尺。工具不同，原理相通——两次观测的"差"，就是打开未知的钥匙。