第二讲 望松 —— 怎么知道山有多高、树有多大？

原典

今有望松生山上，不知高下。立两表齐，高二丈，前后相去五十步，令后表与前表参相直。从前表却行七步四尺，薄地遥望松末，与表端参合。又望松本，入表二尺八寸。复从后表却行八步五尺，薄地遥望松末，亦与表端参合。问松高及山去表各几何？

答曰：松高一十二丈二尺八寸；山去表一里二十八步、七分步之四。

术曰：以入表乘表间为实。相多为法，除之。加入表，即得松高。求表去山远近者：置表间，以前表却行乘之为实。相多为法，除之，得山去表。

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这道题说的是什么

上一道题我们测的是海岛——一个大目标，整个岛峰是一个点。

这道题升级了：山上长了一棵松树，你不仅要测出山有多高，还要测出这棵松树本身有多高。

你可能会说：这有什么难的？先测山顶高度，再测树底高度，一减不就是树高嘛。

哎，问题就在这——你在山脚下的平地上，你只能看到树顶和树底，但你不知道"树底"对应的地面位置在哪。因为山是斜的，你看不见"树底下的地面"在哪里。

所以刘徽的方法是：只测树顶，通过"入表"的巧妙设计，把树高也算出来。

什么叫"入表"？就是你从前面的杆子看松树底部的时候，视线不经过杆顶了，而是从杆子上某一个高度穿过去。这个高度，就叫"入表"——进入杆子多少的意思。

太聪明了。就多了这么一个小小的观测，就能多算出一个未知数。

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示意图

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把题拆解一下

我们先理一理，这道题里你能观测到几个数据：

1. 两根杆子，都是 2 丈高（20 尺）
2. 两杆相距 50 步
3. 从前杆后退 7 步 4 尺，看松顶，视线擦过杆顶
4. 还是在同一个位置，看松树的底部，视线从杆顶往下 2 尺 8 寸的位置穿过去（这就是"入表二尺八寸"）
5. 从后杆后退 8 步 5 尺，看松顶，视线也擦过杆顶

注意：松底的观测只在前面那个点做了一次，后面那个点没做。为什么？因为不需要。有松顶的两次观测 + 松底的一次观测，就够了。

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古人的算法

刘徽给的公式：

$$\text{松高} = \dfrac{\text{入表} \times d}{a_2 - a_1} + \text{入表}$$ $$\text{山去表} = \dfrac{a_1 \times d}{a_2 - a_1}$$

其中 $d$ = 表间，$a_1$ = 前表却行，$a_2$ = 后表却行。

是不是跟上一题的岛高公式结构很像？就是把"表高"换成了"入表"。

我们来算一下（统一用尺做单位方便计算）：

• 表高 $= 2$ 丈 $= 20$ 尺
• 表间 $d = 50$ 步 $= 300$ 尺（1 步 $= 6$ 尺）
• 前表却行 $a_1 = 7$ 步 4 尺 $= 46$ 尺
• 后表却行 $a_2 = 8$ 步 5 尺 $= 53$ 尺
• 相多 $a_2 - a_1 = 53 - 46 = 7$ 尺
• 入表 $= 2$ 尺 8 寸 $= 2.8$ 尺

松高：

$$\text{松高} = \frac{2.8 \times 300}{7} + 2.8 = \frac{840}{7} + 2.8 = 120 + 2.8 = 122.8 \text{ 尺}$$ $$= 12 \text{ 丈 } 2 \text{ 尺 } 8 \text{ 寸}$$

跟刘徽的答案完全一样！

山去表：

$$D = \frac{46 \times 300}{7} = \frac{13800}{7} = 1971\frac{3}{7} \text{ 尺}$$ $$= 328\frac{4}{7} \text{ 步} = 1 \text{ 里 } 28\frac{4}{7} \text{ 步}$$

完美对上。

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现代数学视角：为什么"入表"这么神奇？

为什么测一次"入表"就能算出树高？我们用相似三角形来看一看。

这道题里其实有三组相似关系：

1. 从前面看松顶 → 松高 + 山高 相关
2. 从后面看松顶 → 松高 + 山高 相关
3. 从前面看松底 → 只有山高 相关

前两组跟上一题的岛高公式是一样的，能算出"松顶的总高度"（山高 + 松高）。

第三组只有一组观测，不够算山高——但是注意，我们不需要算山高的具体值。我们用"松顶总高"和"松底高度"两个式子相减，山高就消掉了，剩下的就是松高。

这就是"入表"的巧妙之处：它不是为了算山高，而是为了跟松顶的观测做差，把山高这个未知数消掉，直接得到松高。

具体来说，设山高为 $H$，松高为 $h$，山到前表距离为 $D$，表高为 $h_0$，入表为 $\Delta h$：

看松顶（前表）：

$$\frac{H+h}{D + a_1} = \frac{h_0}{a_1} \qquad (1)$$

看松顶（后表）：

$$\frac{H+h}{D + d + a_2} = \frac{h_0}{a_2} \qquad (2)$$

看松底（前表）：

$$\frac{H}{D + a_1} = \frac{h_0 - \Delta h}{a_1} \qquad (3)$$

用 (1) 减 (3)：

$$\frac{h}{D + a_1} = \frac{\Delta h}{a_1}$$

哎，有意思——松高 $h$ 和"入表"$\Delta h$ 成正比，比例系数是 $\dfrac{D+a_1}{a_1}$。

然后再结合 (1)(2) 两式算出 $D+a_1$，代入进去，$h$ 就出来了。

你看，其实就是多了一次观测、多了一个比例关系，问题就解决了。刘徽的厉害之处在于：他不用列方程、不用解方程组，直接给你一个简洁的公式，照着算就行。

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跟高中数学的关系

这道题对应的高中知识点是：

相似三角形的进阶应用 + 方程思想

这道题里有三个未知数（山高、松高、距离），但我们有三个条件，所以能解。这就是方程思想——有几个未知数，就需要几个独立的方程。

高中数学里的"测量问题"经常会遇到这种"不可到达的两个点之间的距离""底部不可见的高度"之类的问题，思路跟《海岛算经》是一模一样的：

• 不能直接测？那就多测几次
• 每多测一次，就多一个方程
• 方程够了，就能把未知数都解出来

这就是数学的力量——你不需要到现场，只需要在远处测几次，通过计算，就能得到你想要的答案。

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三望是什么意思？

上一道题叫"二望"——观测两次。 这一道题叫"三望"——观测三次。

哪三次？

1. 前表看松顶
2. 后表看松顶
3. 前表看松底

每多一次"望"，就能多求一个未知数。《海岛算经》的 9 道题，从二望、三望到四望，难度层层递进。

到第九题"登山临邑"，是四望——要测一座城的南北长和东西宽，得观测四次才行。

刘徽自己在序言里说："度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。"

意思就是：测高度用两根表，测深度用两个矩，情况复杂的要测三次，更复杂的（既要测远又要测宽）要测四次。

这个"望"的次数，本质上就是方程的个数。几百年前的古人，虽然没有"方程"这个词，但已经在熟练运用方程的思想了。

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思考与拓展

1. 这道题里，为什么看松底只需要在前表观测一次，后表不需要？ （提示：我们的目标是求松高，不是求山高。松高跟山高是什么关系？）

2. 如果要测一棵完整的树（你能看到树顶和树底，而且树长在平地上），你需要测几次？怎么测？

3. 想象一下：如果山上不是一棵树，而是一座塔，塔分三层，你能不能想办法分别测出每一层的高度？需要观测几次？

4. 生活中还有什么地方能用类似的方法？比如：

   • 操场上的旗杆高度（你可以走近）
   • 河对岸的树高（你过不去）
   • 窗户里的画有多大（你进不去那个房间）

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一句话总结

多加一次观测，就能多求一个未知数。古人的"三望""四望"，本质上就是方程思想——用多个方程解多个未知数。