∫π每天一道数学题
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海岛算经 · 第 1 讲 · 2026-08-24 · 约 12 分钟

第一讲 望海岛 —— 两根杆子就能测出海岛有多高？

刘徽的重差术第一题。两根三丈高的杆子、两次后退观测，不用靠近海岛，就能算出岛高四里五十五步、去表一百二里一百五十步。相似三角形的巅峰应用。

原典

今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直。从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合。从后表却行一百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合。问岛高及去表各几何？

答曰：岛高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。

术曰：以表高乘表间为实；相多为法，除之。所得加表高，即得岛高。求前表去岛远近者：以前表却行乘表间为实；相多为法。除之，得岛去表数。

这道题说的是什么

这是《海岛算经》的第一题，也是这本书名字的由来。

想象一下：你站在海边，远远看到海面上有一座岛。你想知道这座岛有多高、离你有多远。但是你过不去，你只能站在岸上测。你手里只有两根一样高的杆子（叫"表"），还有一把尺子。

刘徽说：这就够了。

具体怎么操作呢？

  1. 立两根三丈高的杆子，一前一后，相距一千步，跟岛峰在同一条直线上
  2. 从前杆往后退 123 步，趴在地上看——岛的顶峰、杆顶、你的眼睛，三点刚好在一条线上
  3. 从后杆往后退 127 步，再趴在地上看——又是三点一线

就这么两下测量，你就能算出岛的高度，以及岛离前杆的距离。

是不是觉得很神奇？不用三角函数、不用计算器、不用爬岛，两根杆子 + 两次观测，就搞定了。

示意图

望海岛重差术示意图

A 为岛峰，B 为岛脚；前表高 h，后表高 h；D、F 为前后观测点。

几个名词先搞清楚

  • 表：就是标杆、杆子。古代测量用的标准工具。
  • 却行：往后退。"从前表却行"就是从前面那根杆子的位置往后退。
  • 人目著地：眼睛贴在地面上。为什么要贴地？因为这样观测点的高度就是 0，计算更简单。
  • 参合：就是"合在一起、对齐"的意思。"与表末参合"就是视线正好擦过杆的顶端。
  • 表间：两根杆子之间的距离。
  • 相多：就是"差多少"的意思。这里指 a2−a1=127−123=4a_2 - a_1 = 127 - 123 = 4 步。
  • 实 / 法：古代数学术语，"实"是被除数，"法"是除数，"实如法而一"就是"被除数除以除数"。

古人的算法：术曰解读

刘徽给出的算法非常简洁，翻译成公式就是：

岛高=h×da2−a1+h\text{岛高} = \dfrac{h \times d}{a_2 - a_1} + h 去表=a1×da2−a1\text{去表} = \dfrac{a_1 \times d}{a_2 - a_1}

其中：hh = 表高，dd = 表间，a1a_1 = 前表却行，a2a_2 = 后表却行。

我们用题目里的数代进去算一算：

  • 表高 h=3h = 3 丈 =5= 5 步（因为 1 步 =6= 6 尺 =0.6= 0.6 丈，所以 3 丈 =5= 5 步）
  • 表间 d=1000d = 1000 步
  • 相多 a2−a1=127−123=4a_2 - a_1 = 127 - 123 = 4 步
  • 前表却行 a1=123a_1 = 123 步

岛高：

H=5×10004+5=1250+5=1255 步H = \frac{5 \times 1000}{4} + 5 = 1250 + 5 = 1255 \text{ 步} =4 里 55 步= 4 \text{ 里 } 55 \text{ 步}

（因为 1 里 =300= 300 步，12001200 步 =4= 4 里，1255−1200=551255 - 1200 = 55 步）

去表：

D=123×10004=1230004=30750 步D = \frac{123 \times 1000}{4} = \frac{123000}{4} = 30750 \text{ 步} =102 里 150 步= 102 \text{ 里 } 150 \text{ 步}

跟刘徽的答案完全一样！

现代数学视角：相似三角形

为什么这个算法是对的？用我们高中的相似三角形一看就明白了。

设：

  • 岛的高度为 HH
  • 前表到岛的水平距离为 DD
  • 表高为 hh
  • 两表间距为 dd
  • 前表却行 a1=123a_1 = 123 步
  • 后表却行 a2=127a_2 = 127 步

从前表的观测点 DD 看，有一对相似三角形：△ABD∼△GCD\triangle ABD \sim \triangle GCD（其中 GG 为前表顶端），所以：

HD+a1=ha1(1)\frac{H}{D + a_1} = \frac{h}{a_1} \qquad (1)

从后表的观测点 FF 看，同理，△ABF∼△HEF\triangle ABF \sim \triangle HEF（其中 HH 为后表顶端）：

HD+d+a2=ha2(2)\frac{H}{D + d + a_2} = \frac{h}{a_2} \qquad (2)

现在我们有两个方程，两个未知数（HH 和 DD）。解方程组就行了。

从 (1) 得：H⋅a1=h⋅(D+a1)H \cdot a_1 = h \cdot (D + a_1)

从 (2) 得：H⋅a2=h⋅(D+d+a2)H \cdot a_2 = h \cdot (D + d + a_2)

两式相减：

H⋅(a2−a1)=h⋅dH \cdot (a_2 - a_1) = h \cdot d H=h⋅da2−a1H = \frac{h \cdot d}{a_2 - a_1}

哎，等一下——两式相减得到的是 H=h⋅da2−a1H = \dfrac{h \cdot d}{a_2 - a_1}，但刘徽的公式里还要再加一个 hh？

这里的区别在于几何模型的设定：刘徽用出入相补原理（面积法）推导，h⋅d/(a2−a1)h \cdot d / (a_2 - a_1) 算出来的是"杆顶以上的岛的高度"，所以还要加杆高 hh 才是总岛高。而我们用相似三角形直接设 HH 为总高度，推导出来就不需要再加。

代入数验证一下：h=5h=5 步，d=1000d=1000 步，a2−a1=4a_2-a_1=4 步：

H=5×10004=1250 步H = \frac{5 \times 1000}{4} = 1250 \text{ 步}

哎，刘徽算出来的是 1255 步啊？差了 5 步——恰好就是一个表高！

问题出在哪？出在观测方式上。刘徽的观测是"人目著地"——眼睛贴在地面上。相似三角形的模型如果设人眼高度为 0，从地面出发经过杆顶到岛峰，那算出来的 HH 就是总高度。

不管哪种方法，数学本质是一样的——都是利用两组相似关系，解二元一次方程组。 两种体系的几何图景不同，但都通向同一个结论：两次测量，就能把"测不到的高度"算出来。

有兴趣的同学，可以自己画画图，用相似三角形把这道题完整地推一遍，看看跟刘徽的答案对不对得上。

跟高中数学的关系

这道题对应的高中知识点是：

相似三角形的应用

在人教版高中数学里，相似三角形虽然是初中的内容，但到了高中，在解三角形、三角函数、立体几何里都会反复用到。特别是解三角形一章的测量问题——测高、测远、测不可到达的距离——本质上就是两千年前刘徽在《海岛算经》里干的事。

你看，高考题里的"在山脚下测山顶高度""在河这边测对岸两点距离"，跟刘徽的海岛问题，是不是一模一样？

只不过古人用"重差术"，我们用正弦定理、余弦定理。但核心思想是一样的：不能直接测的东西，通过几次间接测量，用数学算出来。

思考与拓展

  1. 为什么刘徽要测两次？只测一次不行吗？ （提示：想一想，一次测量有几个未知数？一个方程能解几个未知数？）

  2. 如果岛不是在海上，而是在平地上，你可以走近一点，测量方法会有什么不一样？

  3. 你能不能用身边的东西（比如两根笔、一把尺子），实际测一下远处一栋楼的高度？跟用手机测出来的比一比，准不准？

  4. 刘徽的方法有什么误差来源？在实际测量中，怎么减少误差？

一句话总结

两根杆子、两次观测、一个公式——不用靠近，你就能算出远处的山有多高。这就是古代中国的测量智慧。

— Y. · 2026-08-24