函数与导数

$f(x)$ 是定义在 $(0, +\infty)$ 上的函数，其导函数为 $f'(x)$，且满足 $0 < f(x) < f'(x)$。若 $0 < x_1 < 1 < x_2$，且 $x_1 x_2 = 1$，则下列不等式一定成立的是

A. $x_2 f(x_2) > x_1 f(x_1)$

B. $f(x_2) > f(2 - x_1)$

C. $\ln f(x_1) - \ln f(x_2) > x_1 - x_2$

D. $f(x_2) > (2 - x_1) f(x_1)$

20. 设函数 $f(x)=x^2+mx-4\mathrm{e}^{nx-1}$（$n\in\mathbf{Z}$），曲线 $y=f(x)$ 在点 $(-1,f(-1))$ 处的切线方程为 $4x+\mathrm{e}^2 y+\mathrm{e}^2+8=0$。

（1）求 $m$，$n$ 的值；

（2）求 $f(x)$ 的极值点个数；

（3）求 $y=kx-1$（$k>0$）与 $f(x)$ 交点个数。

19. 已知 $a\in\mathbf{R}$，函数 $f(x)=x^2+ax+3$，$g(x)=4x+\frac{1}{x^2}$。

（1）已知 $f(1)=4$，求 $f(x)+\frac{1}{x^2}>g(x)$ 的解集；

（2）已知 $a\neq 0$，$l_1$ 是 $f(x)$ 在点 $(0,3)$ 处的切线，$l_2$ 是过点 $(0,3)$ 且垂直于 $l_1$ 的直线，$g(x)$ 与 $l_1$、$l_2$ 在第一象限内均无公共点，求 $a$ 的取值范围。

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，且当 $x<0$ 时，$f(x)=2^x$。对任意 $x_0 \in \mathbf{R}$，定义集合 $D(x_0)=\{d \in \mathbf{R}|f(x_0+d)>f(x_0)\}$。

（1）若当 $x \geq 0$ 时，$f(x)=1-x$，求 $D(-1)$；

（2）若 $f(x)$ 是奇函数，$f(x_1) \leq f(x_2)$，且 $x_1 x_2 \neq 0$，证明：$D(x_2) \subseteq D(x_1)$；

（3）设 $f(x)$ 满足：①若 $f(x_1) \leq f(x_2)$，

已知函数 $f(x) = \frac{x + 2}{e^x + a}$ 的最大值为 $1$，则 $a = (\quad)$

A. $\frac{1}{2}$ $\quad$ B. $1$ $\quad$ C. $\frac{3}{2}$ $\quad$ D. $2$