不等式

（2024高考真题）$f(x)=a(x-1)-\ln x+1$。

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间；

(2) $a\leq 2$ 时，证明 $x>1$ 时 $f(x)<e^{x-1}$ 恒成立。

设函数 $f(x)=x\ln x$。

(1) 求 $f(x)$ 图像上点 $(1,f(1))$ 处的切线方程；

(2) 若 $f(x)\geq a(x-\sqrt{x})$ 在 $(0,+\infty)$ 恒成立，求 $a$ 的值；

(3) 若 $x_1,x_2\in(0,1)$，证明 $|f(x_1)-f(x_2)|\leq |x_1-x_2|^{\frac{1}{2}}$。

设函数 $f(x)=(x+a)\ln(x+b)$，若 $f(x)\geq 0$，则 $a^2+b^2$ 的最小值为（ ）

A. $\frac{1}{8}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $1$

设 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，满足 $f(x)>f(x-1)+f(x-2)$，当 $x<3$ 时 $f(x)=x$。下列结论：

A. $f(10)>100$

B. $f(20)>1000$

C. $f(10)<1000$

D. $f(20)<10000$

以上正确结论的序号是（ ）

19. $f(x)=x^2-(m+2)x+m\ln x, m\in\mathbf{R}$.

(1) $f(1)=0$, $f(x)\leq x^2-1$ 解集;

(2) $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 存在极大值, $\mathbf{m}$ 取值范围.