椭圆与直线

（1）由 $F(-1,0)$ 得 $c = 1$，离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$，所以 $a = 2$。

$b^2 = a^2 - c^2 = 4 - 1 = 3$。

$C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。

（2）设 $l:y = k(x+1)$（$k > 0$），代入椭圆方程：

$\frac{x^2}{4}+\frac{k^2(x+1)^2}{3} = 1$

整理得 $(3+4k^2)x^2 + 8k^2x + 4k^2-12 = 0$。

(i) 设 $P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$，则 $x_1+x_2 = \frac{-8k^2}{3+4k^2}$，$x_1 x_2 = \frac{4k^2-12}{3+4k^2}$。

$PO$ 直线过原点，方程为 $y = \frac{y_1}{x_1}x$。$R$ 是 $PO$ 与椭圆的另一交点，由对称性 $R(-x_1, -y_1)$。

$\triangle PQR$ 面积是 $\triangle PFO$ 面积的 $3$ 倍。$\triangle PFO$ 以 $PF$ 为底、$y_1$ 为高，$\triangle PQR$ 以 $PR$ 为底（$PR = 2\sqrt{x_1^2+y_1^2}$），高为 $Q$ 到 $PR$ 的距离。

利用面积关系求解 $k$。

(ii) 利用几何关系和代数方法求 $\tan\angle PQR$ 的最小值。

答案是：（1）$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；（2）(i) $y = \frac{\sqrt{3}}{2}(x+1)$；(ii) 最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$。