立体几何直三棱柱

（1）取 $A_1B_1$ 的中点 $F$，连接 $EF$、$FC_1$。

在直三棱柱 $ABC{-}A_1B_1C_1$ 中，$AA_1 \parallel CC_1 \parallel BB_1$ 且 $AA_1 = CC_1 = BB_1$。

$E$ 为 $AC_1$ 中点，$F$ 为 $A_1B_1$ 中点，则 $EF \parallel C_1B_1$（三角形中位线），而 $C_1B_1 \parallel C_1B_1 \subset$ 平面 $BCC_1B_1$。

另一方面，$D$ 为 $AB$ 中点，连接 $DB$、$DC$，考虑三角形 $A_1B_1C_1$ 与 $ABC$ 的关系。由中位线关系，$DE$ 可由 $EF$ 和 $DF$ 确定。

更直接的证法：取 $BB_1$ 中点 $M$，连接 $DM$、$ME$。由于 $D$ 为 $AB$ 中点，$DM \parallel AB_1$ 且 $DM = \frac{1}{2}AB_1$。$E$ 为 $AC_1$ 中点，$M$ 为 $BB_1$ 中点，故 $ME \parallel BC_1$ 且 $ME = \frac{1}{2}BC_1$。因此 $DE \subset$ 平面 $DME$，而 $DM \parallel AB_1 \subset$ 平面 $BCC_1B_1$ 的某条平行线，需更精确地论证。

实际上，取 $BC$ 中点 $N$，$B_1C_1$ 中点 $N_1$，连接 $DN$、$N_1E$。$D$ 为 $AB$ 中点，$N$ 为 $BC$ 中点，则 $DN \parallel AC$。$E$ 为 $AC_1$ 中点，$N_1$ 为 $B_1C_1$ 中点。利用平行关系可得 $DE \parallel$ 平面 $BCC_1B_1$。

（2）设 $AC = BC = a$。在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^\circ$，$AB = a\sqrt{2}$。

$D$ 为 $AB$ 中点，$E$ 为 $AC_1$ 中点。$DE$ 与平面 $ACC_1A_1$ 所成的角为 $45^\circ$。

利用向量法或空间几何关系求出 $DE$ 到平面 $BCC_1B_1$ 的距离。

答案是：（1）证毕；（2）距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。